Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 503 
und liegt der Krümmungsmittelpunkt des zweiten Haupt- 
normalsclinittes immer in der Rotationsaxe. 
Für den Punkt x — 0, y — 0 werden die Differential 
quotienten p, q . . . unbestimmt und die Gleichung (26) 
illusorisch; der Punkt, in welchem die 
0-Axe die Rotationsfläche schneidet, ist in 
der That, sofern er reell ist, entweder ein 
Nabelpunkt oder ein singulärer Punkt. 
Lässt man beispielsweise die Parabel 
z 2 = 2ax -f-2a 2 um die #-Axe rotiren, 
Fig. 108, so entstehen in der ¿-Axe sin 
guläre Punkte P, Q; der Scheitel S aber 
wird ein Nabelpunkt, weil R x — B 2 = a 
(154, (1)) ist; die Fläche hat somit einen 
Parallelkreis mit Nabelpunkten. 
2) Für einen Punkt des geraden Schraubenconoids (181, 2)) 
s — h Are tg ~ 
Fig. 108. 
z 
die Hauptkrümmungsradien zu bestimmen. 
An der citirten Stelle ergaben sich für die Differential 
quotienten die Ausdrücke 
by bx 
■P X* -(- i/ 2? ^ -}— 2/* 
2 hxy b{x 2 —y 2 ) 2 hxy . 
r ^W+W’ s ~ ~~ {x* + y y’ ~ W+y*)'' 
trägt man sie in die Gleichung 202, (27) ein, so lautet diese 
& 2 
P 2 
{X* + y 2 + by 
(x 2 + yy 1 (X 2 -f yy 
sie ist rein quadratisch und gibt 
x 2 + 2/ 2 + l> 2 
Bl, 
+ 
In jedem Punkte der Wendelfläche sind also die beiden Haupt 
krümmungsradien gleich und entgegengesetzt gerichtet; die 
Indicatrix besteht daher ’aus zwei gleichseitigen conjugirten 
Hyperbeln; die Haupttangenten sind demzufolge auf einander 
senkrecht. Die eine der Haupttangenten fällt mit der gerad 
linigen Erzeugenden durch den Punkt M zusammen, die andere 
ist die zu ihr normale Flächentangente.