Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 511 
mungslinien auf der xy- Ebene und wird als Differentialglei 
chung der Krümmungslinien bezeichnet. 
Um die Rückkehrkante der abwickelbaren Normalfläche 
längs einer Krümmungslinie näher kennen zu lernen, ordnen 
wir die beiden Gleichungen, welche sich aus (6) durch Ver 
bindung des ersten und zweiten Ausdrucks mit dem dritten 
ergeben, nach dx, dy\ aus dem so entstehenden Gleichungspaar 
{ if K 1 + f) r — Ms] — 1 ) dx + ^ [(1 + cf)s — pqt\dy = 0 
~[(1 + p*)s — pqi\dx + {-^[(l + P*)t~ M*] — l}ify=0 
geht durch Elimination von dx, dy die in Bezug auf li quadra- 
dratische Gleichung 
(8) {rt— s 2 )R 2 —[(l+9! 2 )^ — 2pqs-\- (1 -f-^ 2 )£]ivB+w* — 0 
hervor; diese Gleichung stimmt aber mit jener (27) überein, 
welche sich in 202 zur Berechnung der Hauptkrümmungs 
radien ergeben hat. 
Demnach gilt der Satz; Die Normale im Punkte M be 
rührt die Rückkehrkante der Normalenfläche, welche zu der einen 
durch M gehenden Krümmungslinie gehört, in dem Krümmungs 
mittelpunkte des Normalschnittes von grösster Krümmung, die 
Eückkehrkante der andern Normalenfläche im Krümmungsmittel 
punkte des Normalschnittes von kleinster Krümmung. 
Dadurch sind die beiden Scharen von Krümmungslinien 
von einander unterschieden, dass nämlich die Linien der einen 
Schar überall die Richtung der stärksten, die der andern Schar 
die Richtung der schwächsten Krümmung anzeigen; in dieser 
Eigenschaft ist auch der Name dieser Linien begründet. 
Wenn die Krümmungslinie K die Schar, zu welcher sie 
gehört, stetig durchläuft, so vollführt die zugeordnete Rück 
kehrkante K 0 auch eine stetige Bewegung und beschreibt eine 
Fläche; eine zweite Fläche gleicher Entstehungsweise ergibt 
sich aus der andern Schar von Krümmungslinien. Diese zwei 
Flächen sind aber ebenso als ein einheitliches Gebilde anzu 
sehen, wie die beiden Scharen von Krümmungslinien, die ja 
auch durch eine Gleichung analytisch bestimmt sind; man 
nennt sie zusammen die Polarfläche der gegebenen Fläche; der