512 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
eine Mantel enthält die Krümmungscentra der Hauptnormal- 
schnitte grösster Krümmung, der andere Mantel die Centra 
der Hauptnormalschnitte kleinster Krümmung. 
207. Bei zwei Gattungen von Flächen lassen sich die 
Krümmungslinien ohneweiters angeben. 
Auf einer Rotationsfläche bilden die Meridiane das eine 
System, die Parallelkreise das andere System. Denn die Nor 
malenfläche längs eines Meridians ist eine Ebene, jene längs 
eines Parallelkreises ein Kegel, beide sind also abwickelbar. 
Auf einer abwickelbaren Fläche sind die geradlinigen Er 
zeugenden das eine System von Krümmungslinien 5 denn weil 
die Fläche in allen Punkten einer Erzeugenden von einer und 
derselben Ebene berührt wird, so ist die Normalenfläche längs 
der Erzeugenden eine Ebene, also abwickelbar. Das andere 
System schneidet die Erzeugenden rechtwinklig. 
Was insbesondere den Kegel anlangt, so wird auf diesem 
das zweite System von Krümmungslinien durch eine Schar 
coucentrischer Kugeln aus der Kegelspitze ausgeschnitten, und 
auf dem Cylinder durch die Schar der Normalschnittebenen. 
In der Abwicklung erscheinen, wenn es sich um eine all 
gemeine Developpable handelt, die Krümmungslinien der einen 
Schar als Tangenten an die transformirte Rückkehrkante und 
die der andern Schar als Evolventen dieser Curve; bei einem 
Kegel ergibt sich in der Abwicklung ein Strahlenbüschel und 
ein System concentrischer Kreise, bei einem Cylinder zwei zu 
einander senkrechte Parallelstrahlenbüschel. 
Für eine beliebige Fläche hängt die analytische Bestim 
mung der Krümmungslinien von einer Aufgabe der Integral 
rechnung ab. 
208. An die Besprechung der Krümmungslinien möge 
eine kurze Erörterung über eine Frage geschlossen werden, 
auf welche Gauss zuerst eine präcise Antwort gegeben hat. 
Es ist bisher nur von der Krümmung von Linien auf 
Flächen und nicht von der Krümmung der Flächen selbst ge 
sprochen worden. Gauss hat für die Krümmung einer Fläche 
in einem ihrer Punkte die folgende Definition aufgestellt, 
welche der Definition für die Flexion einer Raumcurve (169) 
nachgebildet ist.