Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 513 
Fig. in. 
Ein den betreffenden Punkt M einscbliessender (oder wenig 
stens nicht ausschliessender) Theil S, Fig. 111, der krummen 
Fläche werde auf einer Kugel vom Halbmesser 1 in der Weise 
abgebildet, dass man aus dem Mittelpunkte der Kugel einen 
Kegel construir!, dessen Sei 
ten parallel sind den Norma 
len der Fläche längs des Um 
fanges von S- der innerhalb 
dieses Kegels liegende Theil 
27 der Kugeloberfläche gelte 
als Abbildung von S. Der 
Grenzwert des Quotienten -=• 
für ein gegen die Grenze Null 
abnehmendes S heisst Krümmung der Fläche im Punkte M. 
Hierzu ist folgendes zu bemerken. Die Normalen der 
Fläche sind, gleichgiltig ob der Punkt ein elliptischer oder 
hyperbolischer ist, insgesammt nach einer und derselben Seite 
der Fläche zu wenden. Das Element S ist so einzurichten, 
dass innerhalb und am Rande desselben keine zwei Normalen 
parallel sind, damit nicht zwei verschiedene Punkte der Fläche 
sich in dem nämlichen Punkte der Kugel abbilden. Unter 
diesen Festsetzungen werden bei einem elliptischen Punkte die 
Umfänge von S und 27 in gleichem Sinne durchlaufen, bei 
einem hyperbolischen Punkte in entgegengesetztem Sinne. 
Ist die Fläche abwickelbar, so schneidet die Erzeugende, 
welche durch einen Punkt des Umfanges von S geht, diesen 
Umfang noch ein zweitesmal, und die beiden so bestimmten 
Punkte des Umfanges bilden sich in einem Punkte der Kugel 
ab; infolge dessen reducirt sich das ganze 
sphärische Bild von S auf eine Linie, deren 
Inhalt gleich Null ist; eine abwickelbare 
Fläche hat daher in jedem Punkte die 
Krümmung Null (wie eine Ebene). 
Um den Ausdruck für die Krümmung 
in M zu erhalten, führen wir durch M 
die beiden Krümmungslinien K 1? K 2 , Fig. 112, und ausser diesen 
zwei weitere Krümmungslinien K x , AT 2 '; K x und K { ' wie auch 
Czuber, Vorlesungen, I. 33