Erster Abschnitt. Variable und Functionen. 35 
Dieser Satz ist eine Folge des vorangehenden; denn f{x) 
nimmt jeden Wert zwischen A und B mindestens an einer 
Stelle des Intervalls (a, ß) an, hier also auch den Wert Null, 
weil er dem Continuum (A, B) angehört. 
18. Wenn die Definition einer (analytischen) Function 
fix) für einzelne Werte der stetigen Yariabeln x, deren Inter 
vall (a, ß) sei, ihre Bedeutung verliert, so kann die Function 
in der Umgebung einer solchen Stelle verschiedenes Verhalten 
zeigen. 
Es sei x — a eine solche Stelle, welche entweder zwischen 
a und ß liegt oder mit einem dieser Endwerte zusammenfällt. 
1) Ist a innerhalb des Intervalls gelegen und 
lim f(x) — lim f(x) -- b, 
x=a — 0 x=a-\-Ü 
d. h. convergir! f(x) zu beiden Seiten von a gegen eine und 
dieselbe bestimmte Grenze b, so kann man die Definition der 
Function, die an der Stelle « eine Lücke aufweist, vervoll 
ständigen, indem man dieser Stelle jenen Grenzwert zu weist, 
also f{a) = b setzt; die Function verhält sich dann in der 
Umgebung von a wie eine stetige Function. 
Eine ähnliche Bestimmung kann getroffen werden, wenn 
a mit a oder ß (a < ß) zusammenfällt und f{x) für limx=a + 0; 
beziehungsweise für lim x = ß — 0 gegen eine bestimmte Grenze 
convergir!. 
2) Wenn jedoch u < a < ß und 
lim f(x) = b, lim fix) — V 
x—a — 0 a:=a-|-0 
und b^b', so heisst die Function an der Stelle a unstetig oder 
discontinuirlich, und man sagt von ihr, sie springe von b auf 
b' über. Es lässt sich jetzt keine Umgebung von a con- 
struiren derart, dass für zwei beliebige Werte x\ x" aus der 
selben | fix') — fix" j beliebig klein würde. 
3) Wenn für den innerhalb («, ß) befindlichen Wert a 
bei dem einen oder dem andern der Grenzübergänge lim x=a—0 
und lim x = a -{- 0 ein bestimmter Grenzwert b, bei dem andern 
der Grenzwert oo (mit bestimmtem oder unbestimmtem Vor 
zeichen) zu Stande kommt, so verhält sich die Function auf 
der erstgedachten Seite von a wie eine stetige Function; wäre 
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