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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
umschriebene Developpable ist der die Kugel in diesem Kreise 
berührende Cylinder; und auch für diesen Cylinder ist der 
Kreis geodätische Linie, weil seine Normalen zugleich Nor 
malen des Cylinders sind. 
211. Die "kürzeste Verbindungslinie zweier Funkte in einer 
krummen Fläche ist eine geodätische Linie dieser Fläche. 
Um dies zu erweisen*), nehmen wir an, zwei Punkte 
A, B auf der Fläche seien durch eine in der Fläche verlaufende 
Linie verbunden, welche unter allen gleichartigen die kürzeste 
ist. M sei ein Punkt dieser Linie, MT die zugehörige Tan 
gente; durch diese legen wir einen beliebigen Schnitt; sein 
Neigungswinkel gegen die Normale der Fläche in M sei 0. 
Auf dem Schnitte mögen nun zu beiden Seiten von M und 
sehr nahe daran zwei Punkte, M', M", angenommen werden 
derart, dass die Sehnen MM' und MM” gleiche Länge e 
haben; dann können auch die Bögen MM', MM” als gleich 
und als einem Kreise angehörend betrachtet werden, welcher 
den Krümmungshalbmesser p des betreffenden Schnittes in M 
zum Radius hat; bezeichnet schliesslich r den Centriwinkel, 
welcher in diesem Kreise der Sehne c zugehört, so hat man 
einerseits 
arc M'MM"= 2 qx 
und andererseits 
c = 2 q sin ~~ • 
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich 
O w c 
x = z arc sin — 
2q 
und durch Entwicklung (98, 2)) bis zu dem Gliede dritter 
Ordnung in c 
Hiermit ist dann 
arc M'MM"= 2 c + r^: 
bezeichnet aber E den Krümmungshalbmesser des die Tan- 
*) Ein zweiter Beweis dieses Satzes wird in der Variationsrechnung 
(354) gegeben werden.