Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 47 
(?) 
df(x) — f'(x)Ax- 
wendet man diese Gleichung auf die Function f(x) = x an, 
so folgt 
(8) 
dx — /ix 
so dass für diese Function die Begriffe „Änderung“ und „Diffe 
rential“ einander decken, wie ja für sie auch Differenzen 
quotient und Differentialquotient übereinstimmen; nach dieser 
Bemerkung kann 
(9) 
df{x) = f (x) dx 
geschrieben werden. 
Formell ist also das Differential df(x) einer Function das 
Product aus ihrem Differentialquotienten mit dem Differential 
der Variabein; begrifflich stellt es eine Grösse dar, deren Unter 
schied gegen die Änderung A f(x) der Function durch gehörige 
Einschränkung von dx im Verhältnis zu letzterer Grösse dem 
Betrage nach beliebig klein gemacht werden kann, indem zufolge 
(6), (7) und (8) 
lim = o. 
+ 0 dx 
Die aus der Definitionsgleichung (9) gezogene Folgerung 
hat nur die Bedeutung, es sei f (x) der Grenzwert von ÄfÄQ 
bei gegen Null convergirendem Ax und Af(x). Auf ihr be 
ruht der Name „Differentialquotient“ (Quotient aus dem Diffe 
rential der Function und dem Differential der Yariabeln) und 
die yon Leibniz dafür eingeführte Bezeichnung 
df{x) 
dx 
welche den bisher gebrauchten f (x) und D x f{x) äquivalent ist. 
Die Bestimmung des Differentialquotienten einer Function 
und ihres Differentials laufen hiernach im Wesen auf dasselbe 
hinaus; indessen ist ersteres die primäre Aufgabe, ihre Durch 
führung wird als Differentiation der Function bezeichnet. 
In den beiden Fällen von 22 hat das Differential folgende 
Bedeutung.