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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Sind nämlich x, y und ebenso x /1 x, y /ly zusammen 
gehörige Werte, so ist der Diiferenzenquotient für die 
Function f{x), der Diiferenzenquotient für cp (y); diese bei 
den Differenzenquotienten sind reciprok und bleiben es, wie 
klein auch /Ix und /ly werden mögen; folglich sind auch ihre 
Grenzwerte, falls solche vorhanden und bestimmte von Null 
verschiedene Werte sind, also die Differentialquotienten von 
fix) in Bezug auf x und von cp{y) in Bezug auf y, reciprok, 
d. h. 
(12) B x f(x). Dycp{y) = 1. 
Die Differentialquotienten zweier inversen Functionen sind 
also für jedes Paar zusammengehöriger Werte der Variabein 
x, y reciprok. 
Convergirt ~~~ an einer Stelle x gegen die Grenze Null, 
so hat den Grenzwert oo und umgekehrt; ist also an einer 
Mg. 7. 
Stelle x D x f\x) — 0, so hat cp(y) an der entsprechenden Stelle 
y einen unendlichen Differentialquotienten und umgekehrt. 
Die Ergebnisse erlangen anschauliche Bedeutung, wenn 
man y = fix) als Gleichung einer Curve, Fig. 7, auffasst; die 
selbe Curve ist auch durch die Gleichung x — cp (y) dargestellt 
und der Unterschied beider Darstellungen 
liegt lediglich darin, dass das erstemal x, 
das zweitemal y als die unabhängige 
Veränderliche aufgefasst wird*). Der 
Differentialquotient D x f(x) ist die tri 
gonometrische Tangente des Winkels a, 
welchen die Tangente MT mit der posi 
tiven Richtung der Abscissenaxe bildet, 
Dy(p{y) die trigonometrische Tangente des Winkels b, welchen 
dieselbe Tangente mit der positiven Richtung der Ordinatenaxe 
*) Um die Figur bei der Darstellung x = cp{y) in solche Lage zu 
bringen, dass positive Werte von y auf der rechten Seite der horizon 
talen und positive Werte von x auf der oberen Seite der verticalen Axe 
gezählt werden, vollführe man mit der Ebene der Fig. 7 eine halbe 
Drehung um die X-Axe und dann eine Vierteldrehung in sich selbst 
im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers.