Full text: Vorlesungen über Differential- und Integral-Rechnung (1. Band)

Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 53 
zusammen- 
nt für die 
; diese bei 
in es, wie 
l auch ihre 
von Null 
ienten von 
reciprok, 
Honen sind 
Variabein 
•enze Null, 
so an einer 
iden Stelle 
skehrt. 
mg, wenn 
Hasst; die- 
dargestellt 
^Stellungen 
erstemal x, 
labhängige 
d *). Der 
it die tri- 
iAinkels a, 
t der posi- 
axe bildet, 
), welchen 
clinatenaxe 
he Lage zu 
ler horizon- 
rticalen Axe 
eine halbe 
sich selbst 
einschliesst, und da a -f- h = so ist tga • tg6 = 1; dies 
also ist der geometrische Inhalt der Formel (12). Wird in einem 
Punkte, wie E, D x f(x) — 0, so ist dort die Tangente parallel zur 
Abscissenaxe, also normal zur Ordinatenaxe, folglich I) y cp (y ) = oo 
an dieser Stelle; und wird, wie in F, D x f(x) = oo, so ist die 
Tangente normal zur Abscissenaxe, also parallel zur Ordinaten 
axe, daher D y (p{y) — 0 an dieser Stelle. 
i 
Wendet man die Formel (12) auf den Fall y — x m , 
i 
x — ym. an? w0 unter m eine positive ganze Zahl, unter x m 
der positive reelle Wert von Yx verstanden wird und x auf 
positive Werte beschränkt bleiben muss, wenn m eine gerade 
Zahl ist, so findet sich mit Benützung von (8) 
j_ 
jD x x m . my m ~ 1 = 1, 
woraus 
und trägt 
kommt 
I) x x m = 
my 
1 1 1 
nnm 
rn—l m ? 
man nun in die Formel (7) f(x) = x m ein, 
so 
(13) 
B x x m = nx 
1 - x~‘ 
m 
n 1 
m 
dadurch ist die Gültigkeit der Formel (8) für positive gebrochene 
Exponenten dargethan. Wird schliesslich in der Formel (10) 
c — 1 und g{x) = x m 
von (13) 
(14) JD x x m = 
gesetzt, so ergibt sich mit Benützung 
und Formel (8) ist nun auch auf negative gebrochene Exponen 
ten erweitert. 
28. Differentiation zusammengesetzter Functionen. Es sei 
u — (p(x) eine eindeutige stetige Function von x, y — f(u) 
eine eindeutige stetige Function von u, so ist mittelbar y auch
	        
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