Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 53
zusammen-
nt für die
; diese bei
in es, wie
l auch ihre
von Null
ienten von
reciprok,
Honen sind
Variabein
•enze Null,
so an einer
iden Stelle
skehrt.
mg, wenn
Hasst; die-
dargestellt
^Stellungen
erstemal x,
labhängige
d *). Der
it die tri-
iAinkels a,
t der posi-
axe bildet,
), welchen
clinatenaxe
he Lage zu
ler horizon-
rticalen Axe
eine halbe
sich selbst
einschliesst, und da a -f- h = so ist tga • tg6 = 1; dies
also ist der geometrische Inhalt der Formel (12). Wird in einem
Punkte, wie E, D x f(x) — 0, so ist dort die Tangente parallel zur
Abscissenaxe, also normal zur Ordinatenaxe, folglich I) y cp (y ) = oo
an dieser Stelle; und wird, wie in F, D x f(x) = oo, so ist die
Tangente normal zur Abscissenaxe, also parallel zur Ordinaten
axe, daher D y (p{y) — 0 an dieser Stelle.
i
Wendet man die Formel (12) auf den Fall y — x m ,
i
x — ym. an? w0 unter m eine positive ganze Zahl, unter x m
der positive reelle Wert von Yx verstanden wird und x auf
positive Werte beschränkt bleiben muss, wenn m eine gerade
Zahl ist, so findet sich mit Benützung von (8)
j_
jD x x m . my m ~ 1 = 1,
woraus
und trägt
kommt
I) x x m =
my
1 1 1
nnm
rn—l m ?
man nun in die Formel (7) f(x) = x m ein,
so
(13)
B x x m = nx
1 - x~‘
m
n 1
m
dadurch ist die Gültigkeit der Formel (8) für positive gebrochene
Exponenten dargethan. Wird schliesslich in der Formel (10)
c — 1 und g{x) = x m
von (13)
(14) JD x x m =
gesetzt, so ergibt sich mit Benützung
und Formel (8) ist nun auch auf negative gebrochene Exponen
ten erweitert.
28. Differentiation zusammengesetzter Functionen. Es sei
u — (p(x) eine eindeutige stetige Function von x, y — f(u)
eine eindeutige stetige Function von u, so ist mittelbar y auch