Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 59 
wird, und diese Zahl ist der Grenzwert, welchem sich der 
Ausdruck (B) mit beständig wachsendem n nähert; es ist also 
(H) lim (1 -(- —= e. 
v ; n=+* V n} 
Zur Bestimmung dieser Zahl e ist jede der beiden Zahlen 
reihen (G) gleich geeignet; wir benützen dazu die einfachere 
d. i. 
i + f 
1-1—i—I — 
' 1 “ 1 . 2 
1 -4- — 4- -j 1 
l 1 ' 1-2' 1-2-3 
deren zehntes Glied bereits 7 festbleibende Decimalstellen gibt, 
so dass auf so viele Stellen genau 
e = 2-718 2818 . .. 
Es bleibt nur noch zu zeigen, dass der Grenzwert des 
Ausdruckes (B) die Zahl e ist, wie auch n ins Unendliche 
wachsen möge. Zunächst trete an die Stelle von n die posi 
tive stetige Variable #; ihr Wert wird, wenn er nicht eine 
ganze Zahl ist, zwischen zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, 
n und n -f- 1, zu liegen kommen, so dass 
n < z < n -j- 1; 
daraus folgt, dass 
1 + — >1 + —>1+ -4-7 
1 n '2 1 n -f- 1 
und in verstärktem Grade 
( X + i) + > i 1 + y) > i 1 + 5 
der erste Theil dieser Relation -(- 4) +1 = (l + 4)"' rf" V - ) 
convergirt laut (H) mit wachsendem n gegen die Grenze e, weil der 
zweite Factor den Grenzwert 1 hat; der dritte Theil -J- 
= (* + ^r 1 : (l + convei ¥ irt ebenfalls gegen e, 
weil der Divisor die Grenze 1 hat; folglich convergirt auch 
der eingeschlossene Theil gegen die nämliche Grenze und es ist 
(J) lim (l + 4)W 
i = -f-x v Z/ 
Beachtet man noch, dass (l ^ 2 = (~?—^j z == -j-