Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 63 
Nun sind wir auch im Stande, jede Function zu differen- 
tiiren, welche die Form einer Potenz hat und deren Basis 
und Exponent algebraische Functionen von x sind. Sind 
nämlich u, v zwei algebraische Functionen von x und y = u v , 
so kann wegen e Lu =u,y auch in der Form y — e vLu dar 
gestellt werden und nun ist 
In dem einfachsten Falle u — x, v — x ist also 
DxX* = x x {l. x -j- 1}. 
32. Die trigonometrischen Functionen. Die geometrische 
Definition lässt eine Eigenschaft dieser Functionen erkennen, 
welche ihnen unter den elementaren allein zukommt: die 
Periodidtät Es ändern nämlich die Functionen sin, cos, sec, 
cosec ihren Wert nicht, wenn man das Argument um 2 7t ver 
mehrt oder vermindert, sie haben die Periode oder den Perio- 
dicitätsmodul 2 7t- ein analoges Verhalten zeigen die Functionen 
tg, cotg in Bezug auf die Zahl 7t, sie besitzen die Periode %. 
Da nun periodische Functionen an Stellen, welche um ein 
Vielfaches der Periode von einander verschieden sind, in allen 
Stücken übereinstimmen, so werden sie dort auch gleiche 
Differentialquotienten aufweisen: die Ableitungen der trigono 
metrischen Functionen sind somit nothwendig periodische Func 
tionen mit der nämlichen Periode. 
Vermöge der Beziehungen, welche zwischen den trigono 
metrischen Functionen eines Bogens bestehen, genügt es, den 
Differentialquotienten einer derselben zu bestimmen. Wir wählen 
als solche 
y = sin#. 
Der Differenzenquotient ist 
sin {x h) — sin x 
h 
h 
h 
= cos 
h_ 5 
2 
convergirt nun h gegen die Grenze