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Erster Theil. Differential - Rechnung-, 
§ 4. Allgemeine Sätze über den Zusammenhang einer 
Function mit ihrem Differentialquotienten. 
35. Von einer in dem Intervall (a, ß) der stetigen Yaria- 
beln x eindeutig definirten Function fix) sagt man, sie sei 
an der Stelle x innerhalb des Intervalls wachsend, wenn sich 
eine positive Zahl rj so angeben lässt, dass für jedes 0 <h< V 
(1) fix — h) < f{x) < fix + h) . 
Besitzt die Function an der Stelle x einen Differentialquotienten, 
so kann derselbe nicht negativ sein; denn aus (1) folgt 
f{x — Ti) — f(x) ^ n f{x + h) — fix) ^ A 
— h ^ h ^ ' 
mit gegen Null convergirendem h nähern sich die beiden Quo 
tienten nach Voraussetzung einer gemeinsamen Grenze und 
diese kann nicht negativ sein, weil die Quotienten, wie klein 
auch h werden mag, positiv bleiben. 
Die Function f(x) heisst dagegen an der Stelle x abneh 
mend, wenn sich ein positives rj so angeben lässt, dass für alle 
0 <fh<f_7] 
(2) f(x — h) > fix) > fix + ä). 
In diesem Falle kann der Differentialquotient an der Stelle x, 
wenn er existirt, nicht positiv sein; denn aus (2) ergibt 
sich, dass 
fix — fi) — fix) ^ A fix + h) — fix) ^ 0 
— h ^ h " 
und da beide Quotienten für lim h = 0 gegen eine gemein 
same Grenze convergiren, so kann diese nicht positiv sein, 
weil die Quotienten selbst, wie klein auch h werden mag, 
negativ bleiben. 
An den Stellen a, ß kann nur von einseitigem Wachsen 
oder Abnehmen die Rede sein. 
Aus diesen Betrachtungen ergibt sich der Satz: Wenn die 
Function fix) in dem Intervall {a, ß) beständig wächst oder be 
ständig abnimmt und an jeder Stelle einen Fifferentialquotienten 
besitzt, so kann dieser niemals negativ, beziehungsweise niemals 
positiv sein. 
In beiden Fällen ist also nicht ausgeschlossen, dass der 
Differentialquotient an einzelnen Stellen Null wird.