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Erster Thexl. Differential-Eeclmung. 
nehmen) aufhört; diese Stelle wird dadurch charakterisirt sein, 
dass sich ein positives rj derart angeben lässt, dass für jedes 
0 < h < rj 
«*-*)< «!)>/« + *); 
nach den Relationen (1), (2) des vorigen Artikels ist die 
Function an dieser Stelle weder wachsend noch abnehmend; 
ferner ist 
m - m - Ai) ^ o m + h)~m 
— h ^ h ^ ’ 
der erste Quotient kann für lim h = 0 nur einen positiven 
oder den Grenzwert Null haben, der zweite nur einen nega 
tiven oder Null; da aber beide nach Voraussetzung einen 
gemeinsamen Grenzwert besitzen, so kann nur 
rm = o 
sein, womit der Satz erwiesen ist. Für den Fall, dass die Func 
tion von a aus ab nimmt, ergeben sich ganz analoge Schlüsse. 
Bei geometrischer Darstellung der Func 
tion hat der Satz von Rolle eine anschau- 
Kg. 8. 
Y 
M 
A 
B 
liehe Bedeutung; eine Curve AB, Fig. 8, 
welche in den Punkten A und B die Ab- 
scissenaxe schneidet und an jeder Stelle 
zwischen den genannten Punkten eine be 
stimmte Tangente hat, besitzt zwischen A 
und B mindestens einen Punkt M, in welchem die Tangente 
MT der Abscissenaxe parallel läuft. 
Die Voraussetzungen des obigen Satzes können auch dahin 
abgeändert werden, dass f{a) — f(ß) — C ist; denn die Func 
tion f(x) — C erfüllt dann die Bedingung, für x = a und 
x = ß zu verschwinden, ihr Differentialquotient ist aber wieder 
m _ 
Die Function f(x) = (x — a)(x — &) hat, um Beispiele 
anzuführen, in dem Intervall (a, h) die Eigenschaften, welche 
oben vorausgesetzt werden; ihr Differentialquotient f (x) 
= 2 x ■— a — b wird denn auch gleich Null an der zwischen 
a, b liegenden Stelle x 
a -|- & 
Desgleichen entspricht die 
Function f(x) = sin x in dem Intervall (0, %) den Voraus 
setzungen des Rolle’schen Theorems, und in der That ver