Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 75 
Differentialquotient von f(x) in dem Intervall (a, ß) niemals 
negativ {positiv) und auch nicht in einem Theile des Intervalls 
beständig Null ist, so ist die Function wachsend (abnehmend) in 
dem Sinne, dass für irgend zwei Werte x x , x 2 aus (a, ß), welche 
wachsend geordnet sind, die Relation f{x 1 )< f(x 2 ) (f(x x ) > f{x 2 fß 
stattfindet. 
Bedeutet x einen Wert zwischen x x und x 2 , so dass 
ob y X y tJO2 wachsend geordnet sind, so ist auf Grund der (ersten) 
Voraussetzung laut (1) 
f( x ) ~ f(X) = (X ~ x i)f(k) > 0 
fk) — f( x ) = ( x 2 — x ')f'k) ^ 0 ; 
wobei einen Wert zwischen x X7 x, \ 2 einen Wert zwischen 
x, x 2 bedeutet; daraus folgt, dass 
fM £ f(X) ^ fk); 
aber nicht für alle x können beide Gleichheitszeichen gelten 
weil sonst für alle Werte x zwischen x x und x 2 die Beziehung 
f{xi) = f(x) = f(x 2 ) stattfände, die zur Folge hätte, dass in 
diesem Theile von {a, ß) f(x) beständig Null wäre, was gegen 
die Voraussetzung verstösst. Es gibt also sicher einen Wert 
x, für den wenigstens eines der beiden Ungleichheitszeichen 
gilt und dann ist sofort 
fUi) < fk)- 
Der zweite Theil des Beweises ist ebenso zu führen. 
38. Wenn die beiden Functionen f(x), cp(x) in dem Inter 
valle (a, ß) Differentialquotienten besitzen, von welchen der letztere, 
fp'(x), an heiner Stelle Null ist, so gibt es mindestens einen Wert 
| zwischen a und ß derart, dass = A-Il • Dieser 
^ 7 <p(ß) — <p(pc) cp (|) 
Satz wird der verallgemeinerte Mittelwcrtsatz genannt. 
Um ihn zu beweisen, construire man aus f{x) und cp{x) 
die neue Function 
= f(x) — /*(«) — {(f (X) — cp («)) ; 
der Bruch, welcher im Ausdrucke dieser Function vorkommt, 
hat sicher eine bestimmte Bedeutung, da cp(a) nicht gleich 
sein kann cp{ß), indem sonst nach dem Satze von Rolle cp'{x) 
an einer Stelle zwischen a und ß verschwinden müsste, ent