Erster Teil. Differential-Rechnung. 
gewöhnlich, nimmt man sie zum Ausgangspunkte und erklärt 
dann f{x, y) als stetig im Bereiche P, wenn es an jeder Stelle 
desselben stetig ist. Übrigens kann man den Inhalt des Satzes 
auch in der Form ausdrücken, es sei der zu der Stelle x/y 
gehörige Funktionswert f\x, y) der Grenzwert von fix, y') bei 
beliebiger unaufhörlicher Annäherung von xjy an xjy, in 
Zeichen 
(2) 
lim fix, y')^ f{x, y). 
x’=x, y’=y 
Ist fix, y) eine in dem Bereiche P stetige Funktion, so 
ist der Ort der Punkte F, welche die Werte der Funktion in 
dem oben entwickelten Sinne darstellen, eine Fläche und 
z = f{x, y) wird die Gleichung dieser Fläche genannt. 
Von einer Funktion u = 0{x 17 x%, ... x n ), welche für 
einen gewissen Bereich der n Variablen x lf x%, ... x n eindeutig 
definiert ist, wird man in Analogie mit der für eine Funktion 
zweier Variablen heryorgehobenen Eigenschaft sagen, sie sei 
an der Stelle oder in dem Punkte xjxj... ¡x n stetig, wenn sich 
zu einem beliebig kleinen positiven s ein hinreichend kleines 
positives y so bestimmen läßt, daß für jede Wertverbindung 
xf/xf/. . . jxf, für welche 
xf - x l \<7], 1 xf — x 2 | < TJ, . . . 1 xf — X n 1 < 7], 
die Beziehung besteht: 
fixf, xf, . . . x n j - fix,, x 2 , . . . x n ) I < £; 
und die Funktion wird weiter als stetig im Bereiche gelten, 
wenn sie es an allen Stellen ist. 
46. Partielle Differentialquotienten und Differen 
tiale. Es sei z = fix, y) eine im Gebiete P stetige Funktion; 
verfolgt man ihren Verlauf bei einem feststehenden Werte von 
y, also längs einer Geraden, welche das Gebiet P parallel zur 
X-Achse durchsetzt, so verhält sie sich wie eine Funktion von 
einer Variablen und läßt die Bildung der für solche Funktionen