Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 105 
Den Unterschied der zu xjy und x + hjy + Je gehörigen 
Funktionswerte bezeichnet man als totale Änderung von z an 
der Stelle x/y und gebraucht dafür das Zeichen Äs, so daß 
(5) Äs = f{x + h, y + Je) — f{x, y); 
/\ g 
der entsprechende Diiferenzenquotient ist — und läßt sich 
folgendermaßen umgestalten: 
i£* = f{x + K V + tc) — fix, y + k) + f{x, y -f k) — f(x, y) 
4s 4 s 
j = f[x-\-h,y-\-k) — f{x,y + h) h_ f{x,y-\-k)—f{x,y) _k_ _ 
1 h 4s ' k 4s 
Kommt der Punkt M 1 auf Jf(/S") zu liegen, nach Mf, so 
ändern Ji, Je, Äs gleichzeitig ihre Vorzeichen, die Quotienten 
— behalten also für beide Lagen, und wie nahe auch 
M 1 , beziehungsweise Mf an M rückt, die in (4) angegebenen 
Werte bei; besitzt ferner die Funktion partielle Differential- 
quotienten in bezug auf x und y, so ist 
f{x + h, y + k) — f{x, y + k) 
= f x 'i x > V + tyf 
lim - 
h = + 0 
h 
\[ m fi x ' y+ty — f( x ' y) 
wenn endlich der erste dieser Differentialquotienten eine stetige 
Funktion von y ist, so hat man weiter 
fix -f ä, y + k) — f(x, y + ty 
lim lim 1 
£ = + 0 A = + 0 
h 
/\ g 
Man hätte den Zähler von auch erweitern können auf 
fix + ln, y + Je) — f(x + h, y) + fix + h, y) — fix, y), 
und es hätte sich dann bei analog durchgeführter Betrachtung 
die Bedingung ergeben, daß f' eine stetige Funktion von x 
sein müsse, damit bei lim Je — 0 und lim h — 0 der Quotient 
f{x Äh, y + k) — f\x -f h, y) 
gegen die Grenze f y '{x, y) konvergiere. 
Bei stetigem beiderseitigen Grenz üb er gange von x + hjy + Je 
zu x/y in der Richtung S, wobei die Größen Ji, Je, Äs gleich