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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
H 1 F X = 
dagegen schneidet die Ebene, welche durch die Tangenten FG' 
und FG" gelegt wird, auf der Geraden M X F X einen Punkt G x 
ein als vierte Ecke des durch G'FG" bestimmten Parallelo 
gramms, und führt man G"J X parallel zur x-Achse, so zerfällt 
die Strecke H x G t in die Teile H X J X und J X G X , deren erster 
gleich H"G", deren zweiter wegen der Kongruenz der Dreiecke 
G"J X G X und FUG' gleich H'G' ist; mithin ist 
H x G x = H'G' + H"G" = d x z + d y z, 
also 
H x G x = dz. 
Die Ebene FG'G X G" der beiden Tangenten FG', FG" nennt 
man die Tangentialebene der Fläche im Punkte F. Hiernach 
ist das totale Differential bei dem Übergange von der Wertver 
bindung xjy zu jener x -f dxjy + dy dargestellt durch die 
Änderung, welche die Applikate der im Funkte xjyfz an die 
Fläche gelegten Tangentialebene dabei erleidet. 
49. Ausdehnung auf drei und mehr Yariable. 
Handelt es sich um eine stetige Funktion u = fix, y, z) dreier 
Variablen, welche für einen Bereich R dieser Variablen ge 
geben ist, so läßt dieser Bereich auch noch eine geometrische 
Versinnlichung zu (9) und die Betrachtungen von 47 gestatten 
fast wörtliche Übertragung. Die von dem Punkte M des 
Raumes, welcher der Wertverbindung xfyjz der Variablen zu 
geordnet ist, ausgehende Richtung M{S) sei durch die Winkel 
cp, ip, % charakterisiert, welche sie mit den positiven Halbachsen 
des (orthogonalen) räumlichen Koordinatensystems einschließt, 
und werde mit der entgegengesetzten Richtung M(S') zusammen 
kurz als Richtung S bezeichnet. Dann ergibt sich unter Voraus 
setzung der Existenz und Stetigkeit der partiellen Differential 
quotienten ~ der totale Differentialquotient in der 
Richtung S: 
(9) 
du du 
di = r* 008 f + 
d u 
dy 
COS 1p -f- 
d u 
dz 
cos x 
und daraus das totale Differential: