Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 109 
(10) du = dx + dy -f ^ dz, 
' ' 0 X ' 0y J 0z ’ 
also 
(10*) du = d x u -f d y u + d z u, 
wobei die Richtung eindeutig bestimmt ist durch 
dx dy 
7—■■ - | = COS Op, —, ■■ = COS ih, 
\ydx* + dy* + ds 2 \ ’ { ydx 2 + dij 2 + dz 2 \ 
dz 
— cos y 
1 ydx~ -j- dy - -J- dz~\ 
Bei einer Funktion u = f(x lf x 2 , ..., x n ) von n (> 3) Va 
riablen hört auch die Möglichkeit der geometrischen Darstellung 
des Bereiches R auf; man behält aber die geometrische Aus 
drucksweise bei, ordnet der Wortverbindung xjxj. . ,/x n einen 
Punkt M im n-dimensionalen Raume zu, bezogen auf ein 
w-achsiges orthogonales Koordinatensystem; spricht ferner von 
der Richtung, welche den Punkt M mit dem Punkte 
M 1 ... x t dxjx 2 + dxj. . .¡x n + dx n 
verbindet und bestimmt sie durch die Richtungskosinusse 
dx, dx n 
\y dx\-\-dx\-\ \-dx%\ \y dx\-\-dx\-\ \-dxl | 
deren Quadratsumme 1 ist; nennt weiter 
ds = [ ydx x 2 + dx 2 2 + •••-(- dx n 2 | 
die Entfernung von M zu M 1 ; erklärt, die Stetigkeit der Ab- 
-i • I d U 0 U ii 
leitungen p—, o—,. . . vorausgesetzt, 
du du .du . . du 
( U ) Ts - Tf, cos ^ + in, eos v* + ■ ■' + di. C0S 
für den totalen Differentialquotienten von u in der bezeichneten 
Richtung (und der ihr entgegengesetzten) und 
( 12 ) du = ^-dx 1 + ^ i dx 2 + --- + j~dx n 
für das zu jener Richtung gehörige totale Differential. Der in 
47 für zwei Variable formulierte Satz, daß das totale Differential 
der Summe der partiellen Differentiale gleichkommt, behält 
also für beliebig viele Variable seine Geltung.