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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Wir setzen voraus, daß auch die Stellen x -f h/y, x/y + Je 
x -f hjy P Je dem Bereiche P angehören. Auf Grund des. 
Mittelwertsatzes (38) ist 
f{x + h, y) — fix, y) = hf t (x + Oh, y); (0 < 0 < 1). 
Ersetzt man hier y durch y + Je, so wird*) 
fix + Tn, y P Je) — fix, y P Je) = Jif^x + Oh, y + Je)-, 
durch Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten er 
gibt sich 
fix + h, y P Je) - fix, y + Jc) — fix + h, y) Pf ix, y) 
= J l [fii% + Oh, y -f Je) — f x ix -f- OJi, yf] 
und weiter, wenn man auf die Differenz rechts den Mittelwert 
satz anwendet, 
(1) fix P h, y p Je) — fix, y P Je) — f(x + h, y) + fix, y) 
= hJcf 12 ix + Oh, y + O'Je), (0 < 0' < 1). 
Unter neuerlicher Anwendung des Mittelwertsatzes er 
hält man 
fix, y p Je) — fix, y) = Jcfiix, y + 0"Je), (0 < 0" < 1) 
und wenn man diesen Ansatz mit x p h wiederholt, 
fix + h, y P Je) — fix + h, y) = Jef 2 ix -f h, y + 0"Ä); 
durch Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten er 
gibt sich 
fix + h, y P Je) — fix + h, y) - fix, y P Je) P fix, y) 
= KfA x + h ,y + 0"Jc) - f 2 ix, y p 0"Jej\, 
nochmalige Anwendung des Mittelwertsatzes auf der rechten 
Seite gibt schließlich 
(2) fix P h,y P Je) — fix + h, y) — fix, y P Je) P fix, y) 
= Jchf 2l ix + 0"'h, y + e"Je), (0 < 0"' < 1). 
*) Allerdings hängt der unbestimmte positive echte Bruch 0 
auch von y ah und ändert sich daher bei dem Übergange von y zu 
y p Je, etwa in 0,; die Anwendung des Mittelwertsatzes setzt aber die 
Stetigkeit von f t voraus; man kann sich also h, k so klein gewählt 
denken, daß f [x -f- 0, h, ypk) sich von fix P 6h, ypk) um eine 
beliebig kleine Größe unterscheidet; die Mitführung dieser Größe würde 
den Beweis nur komplizierter gestalten.