Full text: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (1. Band)

Dritter Abschnitt. Differentiation vonFunktionen mehrererYariablen. 117 
die Differentiation nur nach einer oder nach mehreren Variablen 
erfolgt. 
53. Beispiele. Die Bildung der höheren partiellen Dif 
ferentialquotienten werden die folgenden Beispiele zur Genüge 
dartun. 
1) Die rationale ganze Punktion dritten Grades 
f(x, y) = ccx s + 8 ßx 2 y + Zyxy 2 -f- dy 3 
ergibt bei einmaliger Differentiation: 
df 
dx 
cf 
dy 
bei zweimaliger Differentiation: 
gy 
dx 2 
c 2 f 
3 ax 2 + 6 ßxy + 3 yy 2 
= 3 ßx 2 + 6 yxy -f- 3 dy 2 ] 
dxdy 
c-f 
dy 2 
= 6 ax -f 6 ßy 
= 6 ßx 6 yy 
= 6 yx + 6 dij] 
d 2 f 
df 
wobei man unmittelbar erkennt, daß sich für aus ^ 
und aus ein und derselbe Wert ergibt; bei dreimaliger 
dy 0 7 0 
Differentiation entstehen: 
d 3 f _ n 
dx 3 — Qcc ’ 
d s f 
= Gßf 
d 3 f 
= 67, 
d 3 f 
= 6 d 
dx 2 dy 'dxdy 2 dy s 
und wieder zeigt es sich, daß jeder der beiden mittleren 
Differentialquotienten aus der vorangehenden Gruppe auf zwei 
Arten übereinstimmend erhalten wird. Alle höheren Differen 
tialquotienten haben den Wert Null. 
2) Die Funktion 
, y 
z = arc tg — 
ö x 
ist für alle Wertverbindungen mit Ausnahme von 0/0 definiert. 
Mit Ausschluß dieser Stelle hat man 
dz 
dx 
_y_ 
x 2 
iTZ 
y 
X 2 + y 2 
°i 
dy 
1 + 
x 
xT-fy 2 ’
	        
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