Dritter Abschnitt. Differentiation vonFunktionen mehrererYariablen. 117
die Differentiation nur nach einer oder nach mehreren Variablen
erfolgt.
53. Beispiele. Die Bildung der höheren partiellen Dif
ferentialquotienten werden die folgenden Beispiele zur Genüge
dartun.
1) Die rationale ganze Punktion dritten Grades
f(x, y) = ccx s + 8 ßx 2 y + Zyxy 2 -f- dy 3
ergibt bei einmaliger Differentiation:
df
dx
cf
dy
bei zweimaliger Differentiation:
gy
dx 2
c 2 f
3 ax 2 + 6 ßxy + 3 yy 2
= 3 ßx 2 + 6 yxy -f- 3 dy 2 ]
dxdy
c-f
dy 2
= 6 ax -f 6 ßy
= 6 ßx 6 yy
= 6 yx + 6 dij]
d 2 f
df
wobei man unmittelbar erkennt, daß sich für aus ^
und aus ein und derselbe Wert ergibt; bei dreimaliger
dy 0 7 0
Differentiation entstehen:
d 3 f _ n
dx 3 — Qcc ’
d s f
= Gßf
d 3 f
= 67,
d 3 f
= 6 d
dx 2 dy 'dxdy 2 dy s
und wieder zeigt es sich, daß jeder der beiden mittleren
Differentialquotienten aus der vorangehenden Gruppe auf zwei
Arten übereinstimmend erhalten wird. Alle höheren Differen
tialquotienten haben den Wert Null.
2) Die Funktion
, y
z = arc tg —
ö x
ist für alle Wertverbindungen mit Ausnahme von 0/0 definiert.
Mit Ausschluß dieser Stelle hat man
dz
dx
_y_
x 2
iTZ
y
X 2 + y 2
°i
dy
1 +
x
xT-fy 2 ’