Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrererYariablen. 121 
und mit Rücksicht auf die Eigenschaft ^ n ^ -(- i^] = ^ n ^ 
der Binomialkoeffizienten 
+1 • 
ds‘ 
,n + 1 
CX 
n +1 
COS 
n +1 
. (n-\-\\c n + i z 
V + 1 ) . cos” cp cos ^ 
V x / fliC ri! 
CX Oy 
. /n+l\ + „ 1 2 / I , ^ + W+ 1 , 
+ ( --*_T7-cos” >cos 2 <H k ~r~^zi cos +1 ^ 5 
v " /CX oy cx ^ 
d. h. es bestünde dasselbe Bildungsgesetz auch für ? 
cf + 1 £ 
rfs” 
es für n = 2, 3 direkt bewiesen worden, so gilt allgemein für 
den w-ten totalen Diiferentialquotienten der Ausdruck: 
/q\ d n z (d . d ,\ n 
( g ) i? = [j^™ a 'f + r y tos V z 
und für das w-te totale Differential der Ausdruck: 
(9) ^i-{^dx + ^dy)\. 
Die Ausdehnung auf Funktionen von mehr als zwei Ya- 
riablen unterliegt nach dem Yorgeführten keiner Schwierigkeit 
und ergibt ein analoges Resultat, so für u = f(x, y, z): 
d n u ( d . d . d \ n 
i? - fe cos V + TCj 008 * + 87 cos v M > 
d " u - (Y dx + lj d y+4i de )" u - 
Auf Grund der in 53 gefundenen Resultate hat beispiels 
weise die Funktion 
z = ax 3 + 3 ßx 2 y + 3 yxy 2 -f di/ 3 
das zweite und dritte totale Differential: 
d 2 z = 6 (ax + ßy)dx 2 -f 12 (Jßx + yy)dxdy + 6 (yx + dy)dy 2 
d 3 z = 6{a<ia; 3 + 3 ßdx 2 dy + 3y£Z#di/ 2 -f ddi/ 3 }, 
und die Funktion 
, y 
z = arc tg — 
das zweite totale Differential: 
79 0 rcif{dx* — dy 1 ) — {x i — y i )dxdy 
(i ~ Z ~ 2 («'+»“)»