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122 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
§ 3. Differentiation zusammengesetzter und impliziter 
Funktionen. 
55. Zusammengesetzte Funktionell einer Variablen. 
Es seien u, v, . . . eindeutige und stetige Funktionen yon x; 
y—f (u, v, . . .) eine eindeutige stetige Funktion von u, v, . . .; 
dann ist y auch eindeutige stetige Funktion von x und wird 
eine zusammengesetzte Funktion von x genannt. 
Um ihren Differentialquotienten in bezug auf x zu be 
stimmen , gehe man von einem Werte x aus und erteile dem 
selben eine Änderung A x-, dadurch ändern sich auch die zu 
x gehörigen Werte von u, v, . . . um z1 u, A v, . . . und der zu 
diesen Werten u, v, . . . gehörige Wert von y uni A y, auf Grund 
der gemachten Voraussetzungen konvergieren mit A x zugleich 
auch Au, Av, . . . und Ay gegen den Grenzwert Null. Nun 
besteht zwischen Au, Av, . . . und Ay die Beziehung 
¿j y = f(u + Au, v -f Av, . . .) —/0, v,. . .); 
die rechtsstehende totale Differenz unterscheidet sich von dem 
totalen Differential — und ein solches ist vorhanden, wenn 
f(u, v, . . .) an der betrachteten Stelle partielle Differential 
quotienten nach u, v*. . . besitzt und diese stetig sind an der 
betrachteten Stelle (47) — um Größen höherer Kleinheitsord 
nung als Au, Av, . . ., so daß 
= Wu zlu + Vv 4 + s t Au + £ 2 Av -} , 
wobei e lf £ 2 , ■■ ■ Größen bedeuten, welche mit Au, Av, . . . 
zugleich gegen Null konvergieren. Die Änderungen Au, Av, ... 
von u, v, . . . ihrerseits unterscheiden sich von den betreffenden 
Differentialen — und solche sind vorhanden, wenn u, v, . . . 
an der Stelle x bestimmte Diiferentialquotienten besitzen — 
um Größen höherer Kleinheitsordnung als Ax, so daß 
^ u = Fx A x + Vi Ax 
Av = ^ Ax + r^Ax, 
wenn unter y t , . . . mit Ax gleichzeitig gegen Null konver 
gierende Größen verstanden werden. Wird dies in die voran 
gehende Gleichung eingetragen, so kommt