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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
daher 
dy 
dx 
= vw 
d u 
dx 
-f u v lu 
d v 
dx 
diese Formel ist am Schlüsse von 31 bereits entwickelt. 
Um zu den höheren Differentialquotienten und Differen 
tialen von y zu gelangen, hat man die Formel (1) neuerdings 
in bezug auf x zu differentiieren und dabei zu beachten, daß 
7) -f 7 -f 
— ,■5—,... wieder zusammengesetzte Funktionen und daher 
in derselben Weise< zu behandeln sind wie f selbst; es ist 
daher; 
d 3 y id 3 fdu d 3 f dv du d 3 fdv , \ 
dx 3 \du 3 dx'dudv dx ' / dx' \dvdu dx ' dv 2 dx ' J dx 1 
df d 3 u of d 3 v 
du dx 3 d v dx 2 ' ’ 
der in der ersten Zeile angesetzte Teil rührt von der Diffe 
rentiation der ersten Faktoren der rechten Seite in (1) her, 
der in der zweiten Zeile von der Differentiation der zweiten 
Faktoren. Nach vollzogener Reduktion (52) ergibt sich: 
/qx d 3 y _ d 3 f /du\ 2 „ d 3 f du dv d 3 f (dxA 2 
^ ' dx 3 d u 3 \dx) ' dudv dx dx' d v 3 \dx] ' 
. dfd 3 u dfd 3 v 
'du dx 3 ' d vfdx 3 ' 
und daraus durch Multiplikation mit dx 2 das zweite Differential 
(4) d 2 y = du 2 + 2 St~ du dv -f + • • • 
v J s cu 3 dudv dv 3 
+ t-- d 2 u -f — d 2 v + • • •. 
du dv 
Der erste Hauptteil würde das zweite totale Differential in 
dem Falle darstellen, wenn u, v, . . . unabhängige Variable 
wären (54, (5)); der zweite Hauptteil verdankt also seine Ent 
stehung dem Umstande, daß u, v Funktionen einer weiteren 
Variablen sind. 
Das Aufsteigen zu höheren Differentialquotienten bedarf 
keiner Erläuterung mehr. 
56. Eulers Satz über homogene Funktionen. Die 
Formel (1) soll dazu benutzt werden, um einen wichtigen Satz