Dritter Abschnitt. Differentiation vonFunktionen mehrererVariablen. 125 
der Analysis zu erweisen, der eine besondere Gattung yon 
Funktionen betrifft und Eulers Namen führt. 
Man versteht unter einer homogenen Funktion n-ten Grades 
mehrerer Yariablen x, y,z... eine solche Funktion f = f(x, y, z,.. 
welche die Eigenschaft besitzt, daß 
fitx, ty, tz,. . .) = t n f{x, y, z,. . .) 
(5) 
wobei t jede beliebige von Null verschiedene endliche Zahl 
bedeuten kann. 
Solcher Art sind beispielsweise die Funktionen 
a n x 2 + 2a u xy + a. 22 y 2 
]/x + ]/y 
arc tg y , 
° T. 7 
und zwar die erste vom Grade 2, die zweite vom Grade * , die 
dritte vom Grade 0. 
Betrachtet man in der Gleichung (5) t allein als variabel, 
setzt vorübergehend 
tx = u, ty = v, tz = w,. . 
und differentiiert beide Teile in bezug auf t, so hat man links 
die Formel (1) zur Anwendung zu bringen und erhält so: 
= nt n ~ 1 f; 
dem dies eingetragen worden, t — 1, wodurch u = x, v = y, 
w = z wird, so kommt 
(6) 
Multipliziert man also die partiellen Differentialquotienten 
einer homogenen Funktion nach den einzelnen Variablen mit 
diesen Variablen selbst, so ist die Summe der so gebildeten Pro 
dukte die mit dem Homogenitätsgrade vervielfachte Funktion.