Dritter Abschnitt. Differentiation von Punktionen mehrerer Variablen. 151 
)eterminante 
dieser ver- 
= f O, y), 
-.enten ~ ; 
dx 
Differential- 
blen u, v 
en Punk- 
îsen sich 
= Zu 
ein, 
d 2 z 
dxdy 
so 
als 
als zwei 
here Dif- 
Grades 
dritten 
67. Beispiele. 1) Für eine beliebige Funktion z von 
x, y ist der Ausdruck 
der Transformation 
x = r cos qp 
y = r sin qp 
zu unterwerfen (64,1). 
Die Gleichungen (12) lauten im* vorliegenden Falle: 
dz 
dcp 
dz . dz 
r sin qp ^ 4- r cos qp ^ 
dz dz . dz. 
— = cos qp ~ h sin qp 5— i 
dr ^ cx ' dy 
quadriert man sie, nachdem man die erste durch r dividiert 
hat, und bildet hierauf ihre Summe, so ergibt sich: 
1 (dz\ 2 (d z Y_ (^ Z Y \ l^ z Y' 
r 2 dcp ' \dr) dx 'dy' 
mithin ist 
dy 1 
d z\ 2 
2) Es sei V eine beliebige Funktion der unabhängigen 
Variablen x, y, z\ man soll die mit Hilfe derselben gebildeten 
Ausdrücke: 
O d * V d*V d*V 
ii2 ~~ dx 2 + dy 2 + dz 2 
einer linearen Transformation (64, II) 
I x = a 1 x i + b x y x + c 1 z 1 
y — a 3 x x -f y x 
z = a 3 x x + h 3 y x + c 3 z x 
unterwerfen von solcher Art, daß durch sie x 2 + y 2 + z 2 über 
geführt wird in X-Y + y Y + Z Y- 
Eine lineare Transformation von dieser Beschaffenheit 
wird, ohne Rücksicht auf die Anzahl der Variablen, eine ortho 
gonale Transformation genannt. 
Um zunächst die Eigenschaften der Koeffizienten einer solchen 
Transformation zu ermitteln, bilde man die Quadratsumme der 
Transformationsgleichungen :