160 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
75). Die Zahlen der Folge (2), welche endliche Summen von 
Gliedern der Reihe (5) darstellen, bezeichnet man als Partial 
summen dieser Reihe. 
Zeigen die Partialsummen ein anderes Verhalten, als es 
hier beschrieben worden, so wird die unendliche Reihe diver 
gent genannt. Welche Erscheinungen eine divergente Reihe 
aufweisen kann, werden die nachfolgenden Betrachtungen so 
gleich lehren. 
Der direkte, allerdings nur selten betretbare Weg zur 
Untersuchung einer Reihe auf ihre Konvergenz oder Divergenz 
besteht in der Bildung der allgemeinen Partialsumme s n und 
ihrer Prüfung für ein unbegrenzt wachsendes n. Zwei Bei 
spiele werden dieses Verfahren erläutern und zugleich die ver 
schiedenen Formen der Divergenz kennen lehren. 
1) Es sei x eine reelle Zahl und a { = x ! ; die hieraus 
entspringende Reihe 
ist die unendliche geometrische Progression *, ihre allgemeine 
Partialsumme 
„ i T n + 1 
s n = 1 + x + x 2 H \- x n = 1 _ sb 
zeigt nun folgendes Verhalten: a) Für | x | < 1 konvergiert 
x n + 1 mit beständig wachsendem n gegen Null, s n gegen 1 
die Reihe (6) ist konvergent und hat den Grenzwert