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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
sich von den Partialsummen s n+J , s K + 2 ,. . . der ursprünglichen 
Reihe um den festen Betrag s n , indem 
S » + l = S n + $1, S n + 2 = S n + S 2> • • •; 
nähern sich daher die Zahlen s 0 , s t , s 2 ,.. . einer Grenze s, so 
nähern sich die Zahlen s t ', s 2 ', s 3 ', . . . der Grenze s — s n . Zu 
folge des Satzes (7*) ist der absolute Betrag des Grenzwertes 
r n von (9) kleiner als s, sobald n m. Man nennt r n den 
Best der bei dem n Iten Gliede a n abgebrochenen Reihe (5). 
Es läßt sich also, wenn die Reihe konvergent ist, zu einem 
beliebig klein festgesetzten s eine natürliche Zahl m derart 
bestimmen, daß 
KI <«, 
wenn n^m ist. Dadurch, daß man statt des Grenzwertes s 
die Partialsumme s m ' oder eine höhere nimmt, wird ein Fehler 
begangen, dessen Betrag kleiner als s ist. 
Auf dieser Eigenschaft beruht die Anwendung der kon 
vergenten Reihen in der Analysis zur Darstellung von Zahlen; 
ferner ist es vermöge derselben bei der Untersuchung einer 
Reihe auf Konvergenz gestattet, beliebig viele Anfangsglieder 
außer acht zu lassen, was mitunter vorteilhaft sein kann. 
3) Besteht die Reihe a 0 + a x -f- a 2 -+- • • • aus lauter posi 
tiven Gliedern und ist sie konvergent, so ist auch jede Reihe, 
welche aus ihr durch Unterdrückung einer endlichen oder un 
endlichen Anzahl*) von Gliedern oder durch beliebige Zeichen- 
änderung an den Gliedern entsteht, konvergent. Denn die 
Relation (7*), wenn sie für die ursprüngliche Reihe bestanden 
hat, kann durch einen solchen Vorgang nicht aufgehoben 
werden, sie besteht vielmehr im allgemeinen für die abgeänderte 
Reihe nur noch in verstärktem Maße. 
71. Allgemeine Sätze über Reihen. Aus dem Begriffe 
der Konvergenz und Divergenz lassen sich die folgenden Sätze 
erweisen: 
00 
1) Ist die Reihe 
0 
*) Z. B. durch Weglassung 
ungeradem Zeiger o. dgl. 
konvergent und s ihr Grenzwert, 
aller Glieder mit geradem oder mit