Vierter Abschnitt. Reihen.
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t. Zunächst
iern ist ent-
't -|- Do.
)lchen Reihe
welcher nur
Rieder unter
n notwendig
nten Grenze,
ie Reihe ist
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nit positiven
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Zahl bleibt
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dern konver-
ers anordnet,
>s auf einen
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i die Reihe
igern i und
en, daß mit
enthält die
sde Partial-
n von (10)
Es seien ferner
s n = a o + a i + ‘ ' ‘ + a n
<*v = a a 0 + a Ul H H a a v
zwei Partialsummen von (10) und (11) von solcher Art, daß
in 6 die Glieder von s n Vorkommen; die darüber hinausgehenden
Glieder von 6 V stammen daher aus dem zu s n gehörigen Reste
r n , demzufolge ist
V - s 9 < r n ,
mit wachsendem n nimmt auch v beständig zu und sinkt r n
unter jeden noch so klein festgesetzten Betrag s hinab; folg
lich ist
lim 6 V = lim s n = s.
Daß eine divergente Reihe aus positiven Gliedern diver
gent bleibt, wenn man ihre Glieder anders anordnet, folgt
daraus, daß
<*v > S n>
und daß s n mit wachsendem n größer wird als jede beliebige
positive Zahl.
3) Wenn man in einer konvergenten Reihe aus positiven
Gliedern die Glieder gruppenweise zusammenfaßt und aus den
Summen dieser Gruppen eine neue Reihe bildet, so ist diese
ebenfalls konvergent und hat denselben Grenzwert wie die ur
sprüngliche.
Denn die Partialsummen der neuen Reihe kommen unter
den Partialsummen der ursprünglichen Reihe vor und nähern
sich daher der nämlichen Grenze wie diese. Diese Schlußweise
zeigt übrigens, daß der Satz für jede konvergente Reihe gilt.
Daß aus einer divergenten Reihe mit positiven Gliedern
durch den beschriebenen Vorgang wieder eine divergente Reihe
entsteht, erkennt man auf die nämliche Art.
Umgekehrt bleibt eine konvergente Reihe aus positiven
Gliedern auch dann konvergent, wenn man einzelne oder alle
Glieder in Summen positiver Zahlen auflöst.
Die Eigenschaften 2) und 3) begründen eine vollständige
Analogie zwischen unendlichen Reihen mit positiven Gliedern
einerseits und endlichen Summen andererseits; sowie der Wert
der letzteren unabhängig ist von der Anordnung und gruppen
