Vierter Abschnitt. Reihen. 
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nungsexponenten erfüllt sind. Für n — 1 reduziert sich die 
Taylor sehe Formel auf 
r(s + eft) 
f(x + h) = f{x) + 
1 
woraus 
fix -f h) — fix) = hf'(x + Qh), 
und dies ist der Ausdruck für den Mittelwertsatz (38, (2)). 
8) Bei den meisten Anwendungen ist h eine Größe von 
sehr kleinem Betrage, ein nahe an Null liegender echter Bruch, 
dessen steigende Potenzen rasch abnehmend der Null sich 
nähern; zur näherungsweisen Berechnung von fix + h) aus 
fix) und den Differentialquotienten genügen dann wenige 
Glieder von (6). Insbesondere läßt sich erweisen, daß h dem 
Betrage nach derart eingeschränkt werden kann, daß das Ver 
hältnis des Gliedes, bei welchem die Formel abbricht, zu dem 
darauffolgenden Restgliede dem absoluten Betrage nach eine 
beliebig große vorgeschriebene positive Zahl K überschreitet. 
In der Tat, soll 
1 • 2 • • • n 
sein, so braucht h nur so gewählt zu werden, daß 
n \ f^ n l \x) 
K | /•(*)(« _|_0ä) 
und dies ist sicher erreicht, wenn man 
nimmt, wobei G den größten Wert bezeichnet, welchen 
| f( n \x -f- 9 7i) j in dem Intervalle (a, ß) erlangt. 
92. Die Taylorsche Reihe. Die Funktion f(x) sei nun 
solcher Art, daß sie in dem Intervalle (a, ß) endlich bleibend 
vollständige Differentialquotienten aller Ordnungen besitzt. Die 
unendliche Reihe 
hat dann vermöge der Gleichung (6) den Grenzwert 
fix -f h) — lim R n ,