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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
die Reihe 
h n 
\n+ 1 
n! 
entwickelt man fW(a + 9/i) wieder in die Taylor sehe Reihe, 
wofür die hinreichenden Bedingungen vorhanden sind, und 
setzt beide Entwicklungen einander gleich, so entsteht die 
Gleichung;: 
n + i 
f (n + 1 \a) 
6 V Ä+8) (a)Ä + ~f {n + s Ka)h 2 + 
+ 
2! 
/’(” + 2 ) (a 
h 
f {n + 3 \ä) 
h 2 + 
n -1- 1 {n -|- 1) [n -f- 2) " ’ (n -)- 1) (n -f- 2) (n -|- 3) 
welche zur Bestimmung von 0 zu dienen hätte. Nimmt man 6, 
das von h (und d) ahhängt, in der Form 
9 = a -f- ßh + yh 2 -)-••• 
an, so gibt die Vergleichung der Koeffizienten gleicher Potenzen 
von h zu beiden Seiten der Gleichung;: 
n -)-1 ’ 
ßf { 
n + 1 
woraus 
— fi n + 2 )(a) = f {n + 2) i a ) 
n ß n + 2 \a) 
- f( n + 3 )(d) = -/■ (W + 8) ^ 
6 ‘ W (w -f 1) (n -f 2)(n + 3)’ 
2(w-fl) 2 (w + 2) / 1 (« + 1 )( a )’ 
yf { - n + l \a) + ccßf( n + 2 da 
woraus 
_ n ( 5n + V f {n+l) (a)f {n+3] (a) — 3 w in -f 3) { f (n+2 \a)} 2 
6 (n -f l) 8 (n -f 2) (n + 3) {/<"+ 9(a)} 2 
Hiernach ergibt sich für das 9 des Mittelwertsatzes 38, d. i. 
f(a -f h) = f(d) -f- f(a -f- 0/i) h, 
da hier n = 1 ist, der Näherungswert 
f"\a) h f"[a)fiv{a)-{f'\a) )* h* 
2 ~ r f (a) 24 ^ {f\a)} 2 48 
also beispielweise für f(x) = sin x, a = A; 
0 = A , 
2 ^ 24]/3 
fe 2 
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