224 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Dem Wesen nach lösen die Taylorsche und die Mac 
lau rin sehe Reihe die nämliche Aufgabe*): die Entwicklung 
einer Funktion in eine Potenzreihe; die erstere leistet dies an 
einer beliebigen Stelle des Intervalls (a, ß), die letztere nimmt 
die Null zum Ausgangspunkte. 
In den folgenden Artikeln werden wir uns mit der Ent 
wicklung einiger elementaren Funktionen in Potenzreihen nach 
der Variablen x befassen und in diesen Reihen zunächst ein 
Hilfsmittel erhalten, die Werte dieser Punktionen für jeden 
zulässigen Wert der Variablen mit jedem gewünschten Grade 
der Genauigkeit zu berechnen. • 
95. Exponentialreihen. Die natürliche Potenz e? ist 
eine Funktion, deren n-ter Differentialquotient für jedes 
n= 1,2,--- ihr selbst gleichkommt (41, 3)), mit ihr zugleich 
stetig bleibt für jeden endlichen Wert von x, und für x = 0 
den Wert 1 annimmt. Da ferner das Restglied 
(16) 
1 • 2 • • ■ n X 
n 
bei jedem endlichen Werte von x mit wachsendem n gegen 
Null konvergiert (92), so gilt für jedes x der Ansatz; 
<17) e '=l + f + iTs + ---- 
Setzt man x = 1, so ergibt sich eine unendliche Reihe 
zur Berechnung der Zahl e selbst (30), nämlich 
(18) 
+ ••• 
Aus dieser Darstellung von e läßt sich die Stellung dieser 
Zahl im Bereiche der reellen Zahlen näher kennzeichnen. Zu 
nächst ist e keine rationale Zahl; bricht man nämlich bei dem 
(n + l)-ten Glied ab, so ist der Rest 
*) Die nachmals zu einem Fundamentalsatz der Differentialrechnung 
gewordene Taylorsche Reihe findet sich zum erstenmal in Brook 
Taylor’s Methodus incrementorum directa et inversa, London 1715. Der 
Fall x — 0 ist zuerst von Colin Maclaurin in dem Werke Treatise of 
fluxions, Edinburgh 1742 benutzt und später nach ihm benannt worden.