Vierter Abschnitt. Eeihen. 
1 
225 
1 • 2 
also jedenfalls 
■ -j- 1 (n -j- 1) in -j- 2) 
( 1 1 i . 
\n -f- 1 (n -(- 1) ! 
(0 < 0 < 1) 
1 + r + r* + 
wäre nun e 
P = 
<L 
die weitere Gleichung 
P_ __ _ i 
a 11-2 
1.2 • • • n •»’ 
ein irreduzibler rationaler Bruch, so folgte aus 
l , 0 
1'2 • • • 3 l-2---q-q> 
deren linke Seite sich nach Multiplikation mit 1 • 2 • • • q in 
eine ganze Zahl verwandelte, während die in gleicher Weise 
abgeänderte rechte Seite ~ weder Null, noch eine ganze Zahl 
sein kann. Dieser Widerspruch bezeugt die Unzulässigkeit 
der Annahme e == Es ist aber von Hermite auch gezeigt 
worden, daß es keine algebraische Gleichung irgend welchen 
Grades mit rationalen (also, wie man immer annehmen kanu, 
ganzen) Koeffizienten gibt, welche durch die Zahl e befriedigt 
würde*); man nennt Zahlen dieser Eigenschaft transzendente 
Zahlen, zum Unterschiede von den algebraischen Zahlen, denen 
die eben der Zahl e abgesprochene Eigenschaft zukommt. 
*) Früher schon hatte Liouville den Beweis hierfür in bezug auf 
eine quadratische Gleichung geführt wie folgt: gäbe es ganze Zahlen 
u, ß, y, für die 
ae 2 -f - ße -f- y — 0, 
also auch 
cce -)- ye~ 1 -f- ß — 0 
wäre, so hätte man nach Einsetzung der für e und e~ 1 aus (17) und (16) 
gebildeten Werte: 
“ l 1 + T + W2 + ''' + 1 ■ 2 . • 1 (n—T) + 1- 2 • .Tn) 
(-W 
1 '1-2 '1-2 •••(»■ 
Czuber, Vorlesungen. I. 2. Aufl. 
i ) +TTYU^-) +/? ^ 0;