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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Bringt man in der Gleichung (17) xla an die Stelle von 
x, unter a eine positive Zahl verstanden, so ergibt sich wegen 
e® 1 a = a x die Entwickelung für die allgemeine Exponential 
funktion : 
(19) <f= l + ~ + + 
welche ebenfalls für jeden Wert von x Geltung hat. Aus 
diesem Ansätze folgt 
a x — 1 7 ic(Za) 2 a: 2 (Za) 8 . 
= l a + -f-f + ■/- 4 ; 
vermöge der Stetigkeit konvergiert die rechtsstehende Potenz 
reihe bei lim x = 0 gegen den Grenzwert l a, somit ist 
(20) lim C ‘ LJ ~ = 
aus dieser Formel folgt mit der Substitution x = ~: 
(21) lim z (Ya — l) = l a. 
Z— Co 
96. Trigonometrische Reihen. Die Funktionen sin x 
und cos x sind ebenso wie ihre w-ten Dilferentialquotienten 
sin ^ + cos [x + n^ (41, (7), (8)) auf dem ganzen Ge 
biete der reellen Zahlen stetige Funktionen, deren Werte in 
dem Intervalle (— 1, +1) liegen; infolgedessen lassen sie sich 
(92) in Potenzreihen entwickeln, welche für jeden Wert von x 
Geltung haben. 
sin {x n yJ geht für x = 0 in sin n~ über, und dies 
ist nur dreier verschiedenen Werte fähig, nämlich: 
0, 0' bedeuten positive echte Brüche. Multipliziert man diese Gleichung 
mit 1-2 ■ • • {n — 1), so nimmt sie im wesentlichen die Gestalt 
cce 0 (— l) n ye~~ e 
-i— = ii 
n 
an, wobei g eine ganze Zahl darstellt; a kann immer als positiv vor 
ausgesetzt und n so gewählt werden, daß auch (— l)”y positiv und die 
linke Seite ein beliebig kleiner positiver echter Bruch ist. Hierin liegt 
ein Widerspruch, der seinen Grund in der Annahme hat, es könnte 
ae 2 -\-ße-\-y = 0 sein.