Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Das Gesamtergebnis der Untersuchung läßt sich in folgen 
dem zusammenfassen: Die JBinomialreihe 
ist für (x | < 1 hei jedem m konvergent und (1 + x') m ihr Grenz 
wert; für x = 1 konvergiert sie nur, wenn m dem Intervall 
(—1, -j- oo) angehört, und 2 m ist ihr Grenzwert; für x — — 1 
konvergiert sie nur, wenn m dem Intervall (0, -j- oo) entnommen 
ist und hat den Grenzwert 0. 
Von der Binomialreihe wird im praktischen Rechnen bei 
der Ausziehung von Wurzeln Gebrauch gemacht. Um ]/Ä zu 
berechnen, bestimme man die der Zahl A zunächstliegende ^-te 
Potenz oP, so daß A = aP + cc und a < aP\ dann ist 
a [i , 1 « _ P — 1 2 (p —i)(2p —l) s 
V . «> HZ „ 
— — — 
p a v 1-2 p 2 \a c / ~~ 1-2-Sj) 3 \a*/ 
je kleiner um so rascher konvergiert die Reihe. Um die 
aP 
Konvergenz zu verstärken, kann man j/A in ±-Wa um- , 
Iv 
gestalten und dann die Entwicklung für ^/k p A vornehmen. 
Für ]/2 ergäbe sich aus (29), wenn man m = ~ setzt, 
unmittelbar die Reihe 
welche jedoch wegen ihrer langsamen Konvergenz zur wirk 
lichen Ausrechnung nicht gut geeignet ist; dagegen ist 
]/2 = ! ]/50 = Z-l/7 2 + 1 
1 + _ . _ i + x ' J 
T 2 49 2 • 4 49 2 ‘ 2-4.6 
11 11,1-3 
i 1 
2-4 49 2 ”*“ 2-4.6 49 3 
...) 
1 =1,000 000000 
1 * =0,000 052061 
2 • 4 49 2 ; 
4--Ä =0,010 204080 
z 49 7 
27175 A “ °p00 000 631 
= 0,000 000531 
2 • 4 • 6 ■ 8 49 4 
= 0,000000006 
1,010 204 611 
0,000 052067