1 , * 
7a Tn — U V t, 
(6 X — 1 ’ 
286 
Erster Teil. Differential - Rechnung. 
7 
Die Differenz der beiden Summen mit — multipliziert gibt die 
Zahl 1,414 213 556, deren letzte Stelle um weniger als zwei 
Einheiten zu klein ist, so daß ]/2 notwendig zwischen 
1,414 213 556 und 1,414 213 558 liegt; auf acht Stellen ab 
gekürzt ist also 
]/2 == 1,414 213 56. 
99. Zyklometrische Reihen. 1) Die Funktion 
f(x) = arc tg x 
und ihr n-ter Differentialquotient (41, (10)) 
(— 1) W-1 1 -2 ...{n 
i) ( -1 ^ ) 
\{x — i'f (x -}- i) n ) 
sind auf dem ganzen Gebiete der reellen Zahlen stetig und 
insbesondere ist (33; 3)) 
«0)-0, /*0(0) 
daher 
(- 1)” ~ 1 1 ■ 2 ... (w 1) / 1 J_\ 
• 2 i \(— 0" W’ 
fV*\0) = 0, 
/( 4, + 1 )(0) _ L..=1-1.2... (4 g) 
/'(., + 3,(0) _ 1 - 2 -- 2 <^ + ä > • X - - 1 ■ 2 ... (4 g + 2). 
Setzt man die aus diesen allgemeinen Formeln für /*'(0), 
f"(0),. . . sich ergebenden Werte in die Maclaurinsche Reihe 
ein, so ergibt sich: 
(32) 
, X X s 
arc tg x = y ~ ir 
vorbehaltlich der erst zu erweisenden Konvergenz des Rest 
gliedes gegen die Grenze Null. Dieses Restglied hat zufolge 
93, (13) den allgemeinen Ausdruck: 
(fl «+•)") 5 
trennt man in ^ das Reelle von dem Imaginären, so sei 
{d X l) 0 7 
(_!)”-V / i 
71 2«z \(0 a;—t)"'