Vierter Abschnitt. Reihen. 
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dann ist notwendig 
(0* + 
= u — VI 
nnd hiermit 
(— 1)”-V 
der gemeinsame absolute Wert von dx — i und 9 x + i ist 
I Yd 2 x 2 +T |, daher der gemeinsame absolute Wert von u-\-vi 
und u — vi einerseits gleich 
(|-|/0 2 ic 2 + l l)"’ 
andererseits gleich 
I ]/u 2 + v 2 1, woraus folgt, daß 
| v | 
und 
(| >/0 2 £C 2 -f- 1 
0 2 iC 2 -f 1 
Ist nun ar <C 1, so ist der Bruch ec ^ unc ^ konvergiert 
die rechtsstehende Größe mit beständig wachsendem n gegen 
den Grenzwert Null; daher ist auch 
lim R n = 0. 
n = + 00 
Für x 2 > 1 ist die Untersuchung überflüssig, weil dann die 
Reihe in (82) aufhört konvergent zu sein. 
Der Bereich, auf welchem der Ansatz (32) Geltung hat, 
ist also durch 
(33) - 1 < x <[ + 1 
gekennzeichnet. 
Für x= 1 ergibt sich die von Leibniz gefundene Reihe*) 
(34) 
welche jedoch zur wirklichen Berechnung eines genaueren 
Näherungswertes von jc wegen ihrer außerordentlich langsamen 
Konvergenz nicht geeignet ist. Für diesen Zweck empfiehlt 
5 ) 1673 gefunden und in den Acta eruditorum für 1682 veröffentlicht.