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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
sich das folgende von John Machin angegebene Verfahren.*) 
Es sei a ein Bogen, dessen Tangens ein kleiner rationaler 
echter Bruch a ist; dann ergeben sich für 
tg 2 a, tg3 a, . . . tgwa 
nach bekannten trigonometrischen Formeln ebenfalls rationale 
Brüche; man schreite in der Bildung derselben so weit vor, 
bis man der Einheit von der einen oder anderen Seite mög 
lichst nahe kommt; sei beispielsweise 
tg n a = h > 1, 
dann ist n a > , 
t gn U — tg — 
o o 4 
1 -f- tg n CC ■ tg 
6 — 1 
~T+b~ C 
ebenfalls eine rationale Zahl und 
= ncc — arc tg c = n arc tg a — arc tg c, 
d. h. auf Grund von (32) 
Tt l a a 3 . a b \ / c e 3 , c 5 \ 
+ t+ t—)• 
Mit a = — erhält man 
o 
tg:2 a 
12 
tg; 4 a 
(Ä) 
_ 120 _ J. \ 1 
119 1, 
tg (4 a — ~) = 
120 
119 1 1 
120 ~~ 239 ’ 
1 + 
119 
= 4 (i— 1 4. 1 _ . . .) 
\ö 3 o 3 ^5-5 6 / 
— (— 1 I — 
\239 3•239 3 '5-23 
239 6 
•)« 
*) 1706 in Jone’s Synopsis palmariorum matheseos mit einem auf 
100 Dezimalen berechneten Näherungswert von t1 mitgeteilt; der Buch 
stabe Tt findet hier zum erstenmal Anwendung in diesem Sinne; all 
gemeinen Eingang verschaffte ihm erst Euler. Die Berechnung von n 
ist später bis zu 707 Dezimalen geführt worden.