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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
oder zu klein • daher 8-4 — 41?— 6' um weniger als 21 Ein 
heiten und das 4 fache davon um weniger als 84 Einheiten zu 
groß, so daß 3t zwischen 3,141592672 und ...588 Hegt; auf 
6 Stellen ist daher 
3t = 3,141592. 
Der Beweis, daß die Zahl n ebenso wie die Zahl e eine 
transzendente Zahl ist (95), gelang erst in jüngster Zeit (Lin 
dem ann).*) Damit war auch dargetan, daß die Aufgabe der 
Verwandlung eines Kreises in ein gleich großes Quadrat, die 
Quadratur des Zirkels, mit Lineal und Zirkel nicht gelöst 
werden könne. 
2) Zur Entwicklung der Funktion 
f (x) = arc sin x 
bedienen wir uns eines Verfahrens, von welchem auch in andern 
Fällen mit Erfolg Gebrauch gemacht werden kann. 
Wenn eine Entwicklung existiert, so hat sie die Form: 
arc sin x = a x x -J- a 2 x 2 + a 3 x s + • • •, 
weil arc sin 0 = 0 ist (33, 1)), und weiter gilt (88): 
17== = 1 a x + 2 a 2 x + 3 a^x* H ; 
yi — ar 
beide Reihen haben denselben Konvergenzbereich; andererseits 
ist auf Grund von 98 für x 2 < 1: 
die beiden letzten Gleichungen haben zur notwendigen Folge (89): 
l-8...(2n—1) 
2 • 4 ... (2 n) ’ 
woraus 
1 
1 l 
Ijjä l 
2.4 ' 5 > • • • a 2 71 +1 
1 ■ 3 . . (2 n — 1) 1 
2 • 4 ... (2 n) 2 n -f-1 
a i I? a 3 
Durch Einsetzung dieser Werte in die supponierte Reihe ergibt 
sich die Gleichung: 
(35) 
arc sin x 
*) Mathematische Annalen, 20. Bd. (1882).