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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Eine stetige Funktion w = u -f- vi, in welcher u, v den 
Bedingungen (2) entsprechen, heißt eine analytische Funktion., 
und nur eine solche wird als eine Funktion der komplexen 
Variablen x -f- yi betrachtet. Die Gleichungen (2) heißen die 
Cauchy - Riemannschen Differentialgleichungen. 
Besitzen die Funktionen u, v auch stetige Differential- 
quotienteu zweiter Ordnung*), so folgt aus (2): 
d x‘* 
d*u 
by* 
d 3 v 
dydx 
d 3 v 
dxdy 
und hieraus nach 52 
(3) 
d*u c*u q 
^ cy*~ 1 
dx l 
Diese Gleichung, 
O/ 
und eine analoge Gleichung ergibt sich für v. 
die Laplacesche Differentialgleichung genannt, ist grundlegend 
für die Theorie der analytischen Funktionen. Man nennt Funk 
tionen, die ihr genügen, harmonische Funktionen, und ein 
Funktionenpaar, das den Gleichungen (2) genügt, bezeichnet 
man als ein Paar konjugierter Funktionen; ein solches ist also 
zur Bildung einer analytischen Funktion geeignet. 
Wie aus (1) zu ersehen, ist der absolute Wert von '[ durch 
die positive Wurzel aus 
ausdrückbar, daher ist 
(d u\ 2 
du\ 2 . /dv\ 2 
[ dx 
+ 
oder aus 
(du\ 2 id v\* 
Wy’ + \dyi 
(du\ 2 /cv\ 2 (ou\ 2 (ov\ 2 
[fhcl + \dxj ~ \Wy) + Wy) ’ 
eine Beziehung, die auch unmittelbar aus (2) zu erschließen ist. 
102. Konforme Abbildung. Faßt man auch u/v als 
rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in einer zweiten Ebene, 
der „w-Ebene“ auf, so ist durch 
W = f{x + yi) = u + vi 
*) Eine weitere Ausführung dieser Theorie zeigt, daß dies eine 
notwendige Folge der Existenz und Stetigkeit der ersten Differential 
quotienten ist.