Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Die erste dieser Formeln zeigt, daß sich unter den un 
endlich vielen Werten des natürlichen Logarithmus einer posi 
tiven reellen Zahl ein einziger reeller Wert befindet, ent 
sprechend je = 0; dieser ist es, den man mit Ix bezeichnet. 
Aus der zweiten Formel geht hervor, daß die Werte des 
Logarithmus einer negativen reellen Zahl wie die einer kom 
plexen Zahl sämtlich imaginär sind. 
Es mag noch die einfache Gestalt der Formel (16) an 
geführt werden, welche sich bei trigonometrischer Darstellung 
von z ergibt. Ist z = r(cos cp + ¿sin 9), so hat man: 
Lz = Ir -J- icp -j- 2xici. 
107. Trigonometrische Funktionen. Zur Definition 
der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sollen 
bei komplexem Argument dieselben beständig und absolut 
konvergenten Potenzreihen genommen werden, welche sich in 
96, (22) und (23), bei reellem Argument für diese Funktionen 
ergehen haben. Bezüglich der anderen Funktionen sollen die 
nämlichen Beziehungen gelten, wie bei reellem Argument, also 
tg^^usw. Wir wollen zeigen, daß dies auf das näm 
liche hinauskommt, wie wenn man die Formeln 105, (15) als 
allgemein geltende Definitionen festgestellt hätte. 
In der Tat folgt aus (11) 
Z‘ 
1 • 2 • 3 • 4 + 
1 • 2 • 3 • 4 ■ 5 
IZ Z* . IZ* . z 
- — — + -I 
1 1 • 2 ' 1 • 2 • 3 ' 1 • 2 • 3 • 4 
1 • 2 • 3 • 4 • 5 
und hieraus durch Addition und Subtraktion: 
l • 2 • 3 ■ 4 
2 i 
1 • 2 • 3 ■ 4 • 5 
nimmt man also die rechtsstehenden Reihen, die mit jenen 
96, (23), (22) übereinstimmen, als Definitionen für cos z und 
sin z y so ist auch 
Ozuber, Vorlesungen I. 2. Aufl. 
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