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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
(17) 
l Z 1 „ l z 
cos # = 
sin# 
e -j-e 
J 2 „ I .2 
2 t 
Da die natürliche Potenz periodisch ist mit dem Modul 2 ui, 
so daß e»* + 2 **t = e *(*+ 2 *«) = so sind die Funktionen cos#, 
sin# periodisch mit dem Modul 2jt, wie dies für ein reelles 
Argument schon bekannt war. 
Ist # rein imaginär, # = ix, so geben die Formeln (17) 
(18) 
-X 
e x + e , 
cos %x = —^ = cosh#, 
sin ix 
2 
. e x — e 
= i sinh#, 
so daß der Kosinus einer rein imaginären Variablen reell, der 
Sinus rein imaginär ist. Durch diese Formeln ist zugleich 
der Zusammenhang zwischen den Kreis- und den Hyperhel 
funktionen (34) hergestellt. 
Ist # komplex = x + iy, so hat man nach (17): 
cos (# + iy) 
e ix ■ e“ y + e~ ix ■ e y (e ix +e~ ix ) (e y + e~ y ) - {e ix - e~ ix ) (/-e~ y ) 
2 ' ~ " ~ ~~ ~ ~ 4 
sin (# + iy) 
e ix .e~ y -e~ ix -e y (e ix -e~ ix ) (e y + e~ y )-{e ix + e~ ix ) (e y -~e~ y ) > 
2 i — 4 i 
mit Beachtung der Formeln (15) und (18) gibt dies: 
cos(# -J- iy) = cos# cos iy — sin# sin^i/ 
sin (# -f iy) = sin # cos iy + cos# sin iy, 
Formeln, welche völlig dem für reelle Bögen geltenden Addi 
tionstheorem entsprechen; in der Form geschrieben: 
cos(# + iy) = cos# coshy — ¿sin# sinhy 
sin (# iy) = sin # cos hy -\- i cos# sinh y 
lassen sie die linksstehenden Funktionen als komplexe Größen 
erscheinen. 
Der Kosinus und der Sinus einer komplexen Variablen sind 
demnach eindeutige periodische Funktionen mit dem Modul 2n.