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Erster Teil. Differential-Rechnnnff. 
wenn ein solcher existiert, als einen uv eigentlichen Funktions- 
wert, wohl auch nicht gerade zutreffend als den wahren Wert 
der unbestimmten Form, und ergänzt die an der Stelle x = a 
unterbrochene Definition der Funktion dadurch, daß man diesen 
Grenzwert als ihren Wert an dieser Stelle festsetzt, also 
(1) f(a) = lim f{x) 
annimmt; dies geschieht auch dann, wenn der gedachte Grenz 
wert oo oder — oo ist. Die Ergänzung erfolgt also, sofern 
der Grenzwert ein endlicher ist, nach dem Grundsätze, daß 
die im Intervalle (a, ß) mit Ausschluß von a herrschende 
Stetigkeit auch für x — a fortbestehen bleibe. 
Unter den unbestimmten Formen ist es eine, auf welche 
man die übrigen zurückzuführen sucht; sie hat folgende Ent 
stehung. 
Es sei f(x) = ^ eine gebrochene Funktion, deren Zähler 
und Nenner in dem Intervalle (a, ß) stetig sind und an der 
Stelle x = a zugleich verschwinden; dann nimmt der Ausdruck 
der Funktion die Form an. 
Da cp(x) und il>(x) für lim x = a unendlich klein werden, 
so hängt der Grenzwert ihres Quotienten von der Ordnung 
des Unendlichkleinwerdens jeder einzelnen ab (16). 
Hierüber gibt mitunter schon eine einfache algebraische 
Umformung Auskunft; sind z. B. m, n natürliche Zahlen, so ist 
f{%) = 
{x-a){x m ~ 1 + ax m -* + h o"- 1 ) 
- a n (x — a) (x v 1 -f- a x n 2 -f" * * • ~b a n x ) 7 
Zähler und Nenner werden also für lim x == a von derselben 
Ordnung unendlich klein wie x — a, daher ist 
v v fx^' + ax™- 2 -] f- m m „ 
f(a) = hmf(x) = [ r- s-t r =—a m ~ n . 
/W \x n - 1 + ax n -* + --' + a n - 1 J x = a « 
Ist x = 0 die kritische Stelle und sind cp(x), ih{x) in 
Potenzreihen entwickelbar, so können diese Reiben ein von x 
freies Glied nicht enthalten (85, Schluß); es sei daher; 
cp(x) = a 0 x m + a 1 x m+1 -f- a 2 x m+2 -f- • • • = x m (a 0 + a x x + •••), 
if(x) = h 0 x n + b x x n+1 + h 2 x n + 2 + • • • = x n (b 0 -(- b x x -f • • •);