Vierter Abschnitt. Reihen. 
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engen, a und a -j- h enthaltenden Intervalle stetige Differential- 
quotienten w-ter, bzw. n-ter Ordnung besitzen, so können 
(p(a + h) und if>(a -f- h) nach der Taylor sehen Formel (9l) 
wegen (p(a) = 0, i^[a) = 0 wie folgt entwickelt werden: 
Wenn nun cp'(a) =4= 0 und 4>'(a) =)= 0, so werden 
h) mit h zugleich unendlich klein von erster Ordnung, 
und man hat 
(2) 
Ist dagegen 
cp\a) = 0 und auch weiter noch <p"(a) = 0, . . . = 0, 
dagegen (¡p (m ) (a) 4= 0, 
ty'ia) — 0 und auch weiter noch i>"(a) = 0,. . . ^ n ~ 1 \a) = 0, 
dagegen (a) ■■4=0, 
und bleiben die letzten Beziehungen auch in dem Intervalle 
(a, a + Ji) bestehen, so wird 
cp (a + 7i) _ 1 • 2 . . . nh m (p {m) {a_+ 0' K) _ 
yia+h) ~ 1 • 2 ... mh n ^ n ){a + e'"h) ’ 
unter diesen Voraussetzungen wird also für limfe = 0 li) 
in bezug auf h unendlich klein von der w-ten, ^(a + h) von 
der n-ten Ordnung; danach ist 
wenn m > n, 
wenn m<Cn, 
wenn m = n. 
Das Verfahren, zu welchem diese Betrachtung führt, läßt 
sich folgendermaßen charakterisieren: Man differentiiere Zähler 
*) Die in diesem Ansätze enthaltene Regel hat Johann Bernoulli 
zuerst gefunden. Acta erudit. 1704.