Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen, 
(2) f(a + h) — f(a) > 0 
für alle Werte топ h, welche der Bedingung 
| h | < г) 
genügen, mit alleiniger Ausnahme von /г = 0. Es ist selbst 
verständlich, daß das Intervall (a — rj, а + rj), welches die 
Umgebung von a ansmacht, ganz in dem Intervalle (a, ß) ent 
halten sein muß. 
Die zulässige Größe der Umgebung, also der äußerste 
Wert von rj, wird davon ahhängen, wie häufig f{x) in (а, ß) 
zwischen Wachstum und Abnahme wechselt; es darf aber für 
den Zweck der Untersuchung rj unter diesem äußersten Werte 
bleiben und beliebig klein angenommen werden. 
Die Begriffe des Maximums und Minimums beziehen sich 
also nicht auf die Gesamtheit der Werte der Funktion, sondern 
immer nur auf die Wferte einer beliebig engen Umgebung. 
Eine Funktion kann in dem ihr zugewiesenen Intervalle meh 
rere oder selbst unbegrenzt viele Extreme erlangen und unter 
ihren verschiedenen Maximis kann es ein größtes, ebenso unter 
ihren Minimis ein kleinstes geben; das erstere stellt dann den 
absolut größten, das letztere den absolut kleinsten Wert dar, 
welchen die Funktion innerhalb (а, ß) erreicht; mit diesen 
Werten wären noch diejenigen an den Grenzen des Intervalls, 
nämlich f(a) und f(ß) zu vergleichen. 
115. Notwendige Bedingung tur ein Üixtrem bei 
stetigem Verlauf des ersten Differentialquotienten. 
Der Übergang vom Wachsen zum Abnehmeu oder umgekehrt 
kann in verschiedener Weise vor sich gehen. Wir stellen den 
wichtigsten, die Regel bildenden Fall an die Spitze und setzen 
voraus, die Funktion f(x) besitze an jeder Stelle innerhalb 
(n, ß) einen Differentiaiquotienten im eigentlichen Sinne oder 
einen vollständigen Differentialquotienten (20). Unter dieser 
Voraussetzung läßt sich der Satz erweisen, daß an einer Stelle, 
an welcher die Funktion ein Extrem erreicht, ihr Differential 
quotient verschtvindet. 
Im Falle eines Maximums ist nämlich vermöge der Re 
lation (1)