Erster Teil. Differential-Rechnung. 
für Werte von h aus dem Intervalle (—17, 0) positiv, für 
Werte aus (0, rf) negativ, und der eine Grenzwert dieses Quo 
tienten für lim h = + 0 kann daher weder negativ noch positiv 
sein, es muß also 
sein. Im Falle eines Minimums ist derselbe Quotient vermöge 
(2) links von a negativ, rechts davon positiv, sein als existierend 
vorausgesetzter Grenzwert für lim h = + 0 kann deshalb weder 
positiv noch negativ, muß also notwendig gleich Null sein. 
Daraus aber ist der folgende Schluß zu ziehen: Wenn 
die Funktion fix) an jeder Stelle zwischen a und ß einen eigent 
lichen JDi/ferentialquotienten besitzt, so sind die Werte von x, 
für welche sie ein Extrem erlangen kann, unter den Wurzeln 
der Gleichung fix) = 0 zu suchen. 
Wäre x = a eine dieser Wurzeln, so bestünde die un 
mittelbarste Entscheidung der Frage, ob hier ein Extrem und 
welches von beiden stattfindet, in der Untersuchung des Vor 
zeichens von f'(a -j- Ji) für entsprechend kleine, entgegengesetzt 
bezeiebnete Werte von h; ist nämlich fia + h) in einer ent 
sprechend klein festgestellten Umgebung von a links von a 
positiv, rechts davon negativ, so ist f(x) in dieser Umgebung 
links von a wachsend, rechts von a abnehmend und erlangt 
in a selbst ein Maximum, bei dem umgekehrten Verhalten ein 
Minimum, 
Die Funktion fix) — 2 x 3 — 3 x 2 -j- b beispielsweise besitzt 
für alle Werte von x einen eigentlichen Diiferentialquotienten: 
und die Gleichung f '0*0 = 0 hat die beiden Wurzeln x — 0 
und x = 1. Bedeutet d eine positive Zahl < 1, so ist 
r(-d)= 6 d(l + d) > 0 
f(8) = — 6 d (1 — d) < 0; 
demnach hat die Funktion an der Stelle x = 0 ein Maximum, 
und dieses ist f(0) = b. Ferner ist unter der gleichen Vor 
aussetzung über d