Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 307 
für alle Richtungen negativ, bzw. für alle Richtungen po 
sitiv ist. 
Man kann diesen Kriterien auch den folgenden Ausdruck 
geben. Weil das totale Differential df zugleich verschwindet 
mit dem totalen Differentialquotienten und weil das zweite 
totale Differential d 2 f gleiches Vorzeichen hat mit dem zweiten 
totalen Differentialquotienten, so gilt der Satz; Die Funktion 
f(x x ,x % ,... x n ) kann einen extremen Wert nur an einer solchen 
Stelle erlangen, an welcher das totale Differential 
nr df , . df . . d f n 
df = — dx. + k— dx 2 + • • • + - 0 — dx„ 
1 dx, 1 1 dx 3 z 1 dx n n 
identisch, d. i. unabhängig von den Werten dx 17 dx 2 , ... dx n , 
verschwindet; und es hat die Funktion an einer solchen Stelle 
wirklich ein Maximum. oder ein Minimum, wenn das zweite 
totale Differential 
ä 2 f= + ^4 dx 2 2 H h f-:4 dxj 
dx„ 
d % f d 3 f 
d~ ^ o ™ dxdx.2 -f- 2 x dx, dx§ -f- 
d x, d x 2 
beständig, d. i. für alle Wertverbindungen dx t /dx 2 f. . . /dx n *), 
negativ, bzw. positiv ist. 
Die Anwendung des zweiten Teiles dieses Satzes kann in 
speziellen Fällen häufig entfallen, wenn nämlich aus der Natur 
der Aufgabe selbst zu erkennen ist, ob es sich um ein Maxi 
mum oder ein Minimum handeln kann. 
123. Beispiele. 1) Es sind die extremen Werte der 
Funktion 
*) Hierbei dürfen unter dx,, dx 2 , . . . dx n beliebig große Werte 
gedacht werden, weil das Vorzeichen des Ausdruckes für d 3 f, auf das 
allein es ankommt, nicht geändert wird, wenn man ihn mit dem Quadrat 
einer beliebig großen Zahl q multipliziert; dann aber treten an die 
Stelle von 
dx,, dx 2 , . . . dx n 
die Produkte 
q dx,, q dx 2 , ... q dx n , 
die beliebig groß sein können. 
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