Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 311 
Sind 
x — a, y — b 1 z — Cj 
«i ~~ ßi ~ Yi 
x — a 2 y — & s z — c 2 
«2 ßs Y% 
die Gleichungen der beiden Geraden, und bezeichnet man den 
mit xjy/z gleichzeitig veränderlichen gemeinsamen Wert der 
ersten drei Brüche mit u, den der letzten mit v, so sind die 
Koordinaten eines Punktes der ersten Geraden als Funktionen 
von u, die Koordinaten eines Punktes der zweiten Geraden als 
Funktionen von v wie folgt dargestellt: 
x — cc x u + a x x = cc 2 v -f a 2 
y = ß x u + \ y = ß 2 v + \ 
z = y x u + c x z = y 2 v + c 2 ; 
ist d der Abstand der zwei durch u, v charakterisierten Punkte, 
so ist 
£2 = (a iU _ -(_ a x — a 2 ) 2 + (ßiU — ß 2 v + h x — \) 2 
+ (ri» — 7z v + c i ~ c 2 ) 2 > 
und dies soll zu einem Minimum werden. Bezeichnet man die 
in den Klammern eingeschlossenen Polynome der Reihe nach 
mit Ä, B, C, so schreiben sich die Bedingungen für das Mini 
mum wie folgt: 
■i^2- Kl a + /3 1 n + n c-o 
—5" + ft-B + y 2 C = 0; 
ferner ist 
1 d 2 {S 2 ) 
2 du 2 
i_ d*{d 2 ) 
2 dv 2 
1 dS (^ 2 ) 
2 du dv 
= a x 2 + ß x 2 + ?h 2 , 
= <* 2 2 + ß 2 2 + y 2 2 , 
= - faa, + ßtß, + y x y 2 ) 7 
daher unabhängig von u, v 
d\ä 2 ) 8 2 {S 2 ) _ /d^d 2 )^ 
du 2 dv 2 \dudv) 
= 4 [(a x 2 + ß 2 + y x 2 ) (a 2 2 -f ß 2 2 + y 2 2 ) — (a x cc 2 + ß x ß 2 + y t ^s) 2 J 
= 4 Kßi 72 ~ ß2 7i) 2 + Oi «2 - 7%+ («iß 2 ~ “ißif],