Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen 315 
für ein genügend kleines r beständig positiv bleibt, während 
cp das Intervall (0, 2n) durchläuft; r sei insbesondere so klein 
festgesetzt, daß das Glied mit der ersten Potenz die Summe 
aller übrigen dem Betrage nach übertrifft. 
Ist J.<120°, < 60°, also 2cosy>1, so kann 
durch Wahl von cp der Koeffizient von r nach Belieben positiv 
wie negativ gemacht werden, stellt somit h -+- c keinen ex 
tremen Wert dar. 
A 
Ist A = 120°, also 2 cos — = 1, so ist der Koeffizient von 
A 
r im allgemeinen positiv, verschwindet jedoch für cp = ■ ; 
trotzdem bleibt die Differenz S — (b + c) auch an dieser Stelle 
positiv vermöge des nun maßgebenden Gliedes mit r 2 , das 
positiv ist. 
Ist A > 120°, also 2 cos ~ <C 1, so behält der Koeffizient 
von r für alle Werte von cp das positive Vorzeichen, also auch 
S-(h + c). 
In den beiden letzten Fällen, und es sind das gerade die 
jenigen, welche die erste Lösung ausschließt, ist also A die 
gesuchte Lage des Punktes M, für welche S ein Minimum ist. 
Daß bei diesem Problem überhaupt nur ein Minimum 
entstehen kann, geht daraus hervor, daß man S zwar beliebig 
groß, aber nicht beliebig klein machen kann. 
5) Es sind n Punkte M i (i = 1, 2, ••• n) im Raume ge 
geben und jedem derselben ist eine positive Zahl m. zugeord 
net. Man soll jenen Punkt S bestimmen, für welchen die 
Summe der mit den Zahlen m i multiplizierten Quadrate der 
Entfernungen 8M i ein Minimum ist. 
Sind xjyjz, die auf ein rechtwinkliges System bezogenen 
Koordinaten von M i} xjy/z die Koordinaten eines beliebigen 
Punktes S, so ist S so zu bestimmen, daß 
T = ^ml{x - x t ) s + (y- ytf + (e- ^) 2 J 
i 
ein Minimum werde; die Bedingungen hierfür lauten: