Fünfter Abschnitt. Maxixna und Minima der Funktionen. 321 
Ob an einer aus den Gleichungen (7) heryergehenden 
Stelle x/y/z/u die Funktion f wirklich einen größten oder 
kleinsten Wert erreicht, ist in angewandten Fällen zumeist 
aus der Natur der Aufgabe zu erkennen; sollte ein Zweifel 
hierüber bestehen, so müßte das zweite Differential d 2 f zur 
Entscheidung herangezogen werden, aber wieder in der Art, 
daß auch den Bedingungsgleichungen Rechnung getragen wird. 
Zu diesem Zwecke hätte man die betreffende Wert Verbindung 
xjyjzju in die Gleichungen (3) einzuführen, sodann dz, du 
durch dx und dy auszudrücken und diese Werte nebst xjyjz/u 
in d 2 f einzutragen; fällt d 2 f verschieden von Null aus und ist 
sein Vorzeichen unabhängig von dx, dy, so ist durch dieses 
Vorzeichen die Frage in bekannter Weise gelöst. 
126. Beispiele. 1) Die kürzeste Entfernung eines ge 
gebenen Punktes von einer gegebenen Ebene zu bestimmen. 
Der Punkt sei durch seine Koordinaten x 0 /y 0 /z 0 und die 
Ebene durch die Gleichung 
Ax -f- By A Cz + D = 0 
gegeben. Als diejenige Punktion, deren Minimum zu bestimmen 
ist, kann 
=== (x x 0 ) 2 + 0 — y 0 ) 2 + 0 — £ 0 ) 2 
gewählt werden; die durch x, y, z zu erfüllende Bedingung 
lautet 
Ax + By -J- Cz -f I) = 0; 
demnach kommt es auf das absolute Minimum der Funktion 
{x — x 0 y + {y — y Q f + 0 - z 0 ) 2 — 2 X {A x + By + Cz + B) 
an; die Bedingungen hierfür lauten: 
x — x 0 — IA = 0 
tl — Z/o — AZ/ = 0 
z — z 0 — l C = 0. 
Verbindet man sie mit der Bedingungsgleichung, so ergibt 
sich zur Bestimmung von X die Gleichung: 
X(A 2 AB 2 -f C 2 ) A Axq A By 0 -f- Cz 0 -j- I) = 0, 
Czub er (Vorlesungen. I. 2. Aufl. 21