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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
woraus 
Ax 0 -f- By 0 -j- Cz 0 -f- D 
A* -f B i + C 4 
Setzt man diesen Wert in die obigen drei Gleichungen ein, 
so ergibt sich die Stelle x/y/z, welcher das Minimum entspricht, 
also der Fußpunkt des von x 0 /y 0 /z 0 auf die Ebene gefällten 
Lotes. 
Hier war aber die Frage nach der kürzesten Entfernung 
selbst gestellt; um diese zu finden, setze man in dem Ausdruck 
für d 2 anstelle von x — x 0 , y — y Q , z — z 0 die aus den obigen 
Gleichungen fließenden Werte; dadurch ergibt sich: 
min d 2 = k 2 (A 2 + B 2 +C 2 ) 
und nach Eintragung des Wertes für A: 
min d = Ax ° ^ z ° ~l~ ^ 
wobei der Wurzel jenes Zeichen beizulegen ist, welches den 
mind = 
ganzen Ausdruck positiv macht. 
Die analytische Begründung dafür, daß der gefundene Wert 
ein Minimum ist, ergibt sich aus der Betrachtung des zweiten 
Differentials von d 2 , welches 
%{dx 2 + dy 2 +dz 2 ) 
und nach Berücksichtigung der Bedingungsgleichung 
* 
lautet und wesentlich positiv ist. 
2) Aus einer rechteckigen Tafel von gegebenem Inhalt a 2 , 
aber von zu wählender Form, sind an den vier Ecken gleiche 
quadratförmige Ausschnitte zu machen der 
art, daß nach Aufbiegen des Restes längs der 
punktierten Linien (Fig. 31) ein parallelepi- 
pedischer Hohlraum von größtmöglichem 
Volumen entsteht. 
Fi«. 31. 
Bezeichnet man die Seitenlängen der 
Tafel mit y, z, die Seite eines Ausschnitts mit x, so ist das 
Volumen des Parallelepipeds